Muchas grácias, he podido resolver el problema! No se si estará bien pero me sale que converge por alfa mayor que 2 en la primera integral.
En la primera integral, con lo antes ya dicho, y observando que \( (e^x-1)\sim_0 x \) te queda que
\( \displaystyle{
\frac{\log (1+\operatorname{sen}^2 x)}{\sqrt{1-\cos x}(e^x-1) ^{\alpha }}\sim_0 \sqrt{2}\operatorname{signo}(x) x^{1-\alpha }
} \)
Por tanto para \( \epsilon >0 \) suficientemente pequeño tenemos que
\( \displaystyle{
\int_{0}^\epsilon \frac{\log (1+\operatorname{sen}^2 x)}{\sqrt{1-\cos x}(e^x-1) ^{\alpha }}\,d x =\int_{0}^{\epsilon }g(x) x^{1-\alpha }\,d x
} \)
para una función continua \( g \) tal que \( g(x)\in(\sqrt{2}-1/2, \sqrt{2}+1/2) \) para todo \( x\in(0,\epsilon ) \). Por tanto
\( \displaystyle{
\begin{align*}
&\left(\sqrt{2}-\frac1{2}\right)\int_{0}^\epsilon x^{1-\alpha }\,dx\leqslant \int_{0}^{\epsilon }g(x) x^{1-\alpha }\,d x\leqslant \left(\sqrt{2}+\frac1{2}\right)\int_{0}^\epsilon x^{1-\alpha }\,dx \\
\iff &\left(\sqrt{2}-\frac1{2}\right)\left(\frac{\epsilon ^{2-\alpha }}{2-\alpha }-\lim_{x\to 0^+}\frac{x^{2-\alpha }}{2-\alpha }\right)\leqslant \int_{0}^{\epsilon }g(x) x^{1-\alpha }\,d x\leqslant \left(\sqrt{2}+\frac1{2}\right)\left(\frac{\epsilon ^{2-\alpha }}{2-\alpha }-\lim_{x\to 0^+}\frac{x^{2-\alpha }}{2-\alpha }\right)
\end{align*}
} \)
Por tanto la integral converge únicamente cuando \( \alpha <2 \).
La segunda integral es más compleja: tienes como puntos de interés el cero, el uno y \( +\infty \). El cero y el uno se pueden analizar como se ha hecho en la integral anterior, pero el caso de \( +\infty \) es más complejo y no será lo mismo la convergencia absoluta que la condicional. Para \( +\infty \) lo que puedes hacer es aproximar el valor de las integrales
\( \displaystyle{
I_n:=\int_{0}^1 \frac{|\operatorname{sen}^3 \pi x|}{(x+n)^{\alpha }|\log (x+n)|^{\beta }}\,d x,\quad n\in \mathbb{N}_{\geqslant 2}
} \)
ya que
\( \displaystyle{
\int_{2}^{+\infty } \frac{\operatorname{sen}^3 \pi x}{x^{\alpha }|\log x|^{\beta }}\,d x=\sum_{n\geqslant 2}(-1)^n I_n
} \)
Si se tiene una sucesión decreciente de números reales no-negativos \(\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) entonces
\[
\left| \sum_{n=m}^{m+k}(-1)^n a_n \right|\leqslant a_{m},\quad \text{ para todo }m,k\in \mathbb{N}
\]
Por tanto, en el caso comentado más arriba, tenemos que \(I_n\geqslant 0\) para todo \(n\). Por tanto la sucesión \(\sum_{n\geqslant 2}(-1)^n I_n\) es alterna. Una de las condiciones suficientes de convergencia de tal serie es que la sucesión \(\{I_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) eventualmente converja monótonamente a cero. Es fácil de ver que las constantes \(\alpha \) y \(\beta \) hacen que, eventualmente, la sucesión \(\{I_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) sea monótona. La cuestión entonces es ver cuáles son los valores de \(\alpha \) y \(\beta \) que hacen que la función \(f:[2,\infty )\to \mathbb{R},\, x\mapsto x^{\alpha }|\ln x|^{\beta }\) sea eventualmente creciente.
