Hola
Bienvenido al foro.
Tengo que demostrar que el espacio Hausdorff conexo contable \( (\mathbb{Z}^+,\tau) \) no es compacto. Y me dan la siguiente sugerencia: Considere la cubierta abierta por los conjuntos {\( U(p, 1) \) todos los primos \( p \)}.
Les agradezco su atención
Deberías de decir que topología estás manejando; supongo que se refiere a la de las progresiones aritméticas, generada por la base de abiertos de la forma:
\( U(a,b)=\{an+b|n\in \Bbb Z\}\cap \Bbb Z^+ \) con \( a,b \) coprimos
Entonces la familia de abiertos propuesta:
\( U(p,1)=\{pn+1|n\in \Bbb Z\}\cap \Bbb Z^+ \)
1) Es un recubrimiento de \( \Bbb Z^+ \), ya que dado \( k\in Z^+ \), y cualquier primo \( p \) dividiendo a \( k-1 \), existe \( n\in \Bbb Z \) tal que \( np=k-1 \) y por tanto \( k\in U(p,1) \).
¡Cuidado! Esto falla para \( k=2 \).
Para corregirlo añadimos el abierto \( U(3,2)=\{3n+2|n\in \Bbb Z\}\cap \Bbb Z^+ \) que contiene al \( 2 \).
2) No se puede extraer un subrecubrimiento finito. Ten en cuenta que dado \( q \) primo, para que \( q+1\in U(p,1) \) tiene que cumplirse que:
\( pn+1=q+1\quad \Rightarrow{}\quad pn=q \)
dado que \( p,q \) son primos, necesariamente \( p=q \). Por tanto \( q+1 \) sólo pertenece al conjunto del recubrimiento \( U(q,1) \).
Además hay infinitos primos \( q \) tales que \( q+1\not\in U(3,2) \) ya que:
\( q+1\in U(3,2)\quad \Leftrightarrow{}\quad q=3n+1 \)
y hay infinitos primos de la forma \( 3n-1 \).Saludos.
CORREGIDO
