No me queda muy claso si tu duda es por qué se construye esa sucesión de abiertos, o cómo se construye.
Sobre el por qué se construye, la idea para obtener dos abiertos disjuntos \( U,V \) de los conjuntos (cerrados en el \( F_\sigma \), \( A \)) \( H,K \) es ir obteniendo abiertos \( U_n, V_n \) disjuntos de \( X \) que contengan a \( H_n := H \cap F_n \) y \( K_n := K \cap F_n \), de manera que \( U_n \subseteq U_{n+1} \) y \( V_n \subseteq V_{n+1} \). Esto nos asegura que cada \( U_n \) es disjunto con \( V_i \) para todo \( i \leq n \) y que \( V_n \) es disjunto con \( U_i \) para todo \( i\leq n \). Entonces, \( U:= \bigcup_n U_n \) y \( V := \bigcup_n V_n \) son dos abiertos que contienen a \( H, K \) respectivamente (porque \( H = \bigcup_n H_n \) y \( K = \bigcup_n K_n \)) y \( U\cap V = \emptyset \) porque si \( x \in U \cap V \) entonces \( x \in U_n \) para algún \( n \) y \( x \in V_m \) para algún \( m \), luego \( x \in U_n \cap V_m = \emptyset \), por como hemos construido la sucesión.
Sobre cómo construir la sucesión, pongo una versión un poco distinta de la del hilo de stackexchange, sin tanta clausura y que a mí personalmente me resulta más sencilla, a ver si esta la entiendes mejor.
Lo primero es darse cuenta que, aunque \( H,K \) no son necesariamente cerrados en \( X \), cada \( H_n, K_n \) sí lo son, porque son cerrados de \( F_n \) que es cerrado en \( X \). Por tanto, podemos aplicar la hipótesis de normalidad de \( X \) a estos conjuntos y obtener, para cada \( n \), dos abiertos de \( X \) disjuntos \( U_n', V_n' \) que contienen \( H_n, K_n \) respectivamente. El problema con los \( U_n',V_n' \) es que no es una sucesión creciente de abiertos, es decir, no tiene por qué cumplirse que \( U_n' \subseteq U_{n+1}' \). Por tanto, lo que hacemos ahora es modificarla para obtener otro par de sucesiones que sí cumplan eso. Definimos \( U_0 := U_0', V_0 := V_0' \). Y ahora, supuesto que tenemos definido ya \( U_n, V_n \), definimos \( U_{n+1} := U_n \cup (U'_{n+1} \setminus F_n) \) y similarmente, \( V_{n+1} := V_n \cup (V'_{n+1} \setminus F_n) \).
Claramente, por como hemos construido los conjuntos, se cumple que \( U_n \subseteq U_{n+1} \) y \( V_n \subseteq V_{n+1} \). Además, son abiertos en \( X \), porque \( U_n \) es abierto (por hipótesis de inducción) y \( U'_{n+1} \setminus F_n \) es la diferencia de un abierto en \( X \) y un cerrado en \( X \). Es fácil ver que contienen a \( H_{n+1}, K_{n+1} \), usando \( H_{n+1} \subseteq U_{n+1}' \) y \( H_n \subseteq U_n \) (esto último por hipótesis de inducción). Y finalmente, son disjuntos, porque si \( x \in U_{n+1} \cap V_{n+1} \), o bien \( x \in F_n \) en cuyo caso tenemos \( x \in U_n \cap V_n = \emptyset \) (por hipótesis de inducción), o bien \( x \in F_{n+1} \setminus F_n \) en cuyo caso \( x \in U_{n+1}' \cap V_{n+1}' = \emptyset \).
Por tanto, este par de sucesiones de abiertos cumple todo lo que necesitábamos, y definiendo \( U = \bigcup_n U_n, V = \bigcup_n V_n \) tenemos que \( U \cap A, V \cap A \) son abiertos disjuntos de \( A \) que contienen a \( H, K \) respectivamente. Luego \( A \) es normal.
