[JMMM]

Sea la siguiente función:

\( U=U(r(t),\,\,\dot{r}(t))=\frac{\alpha }{r}\sqrt{1-\frac{{{{\dot{r}}}^{2}}}{{{c}^{2}}}} \)

siendo \( \alpha  \)  y  \( c \)  constantes positivas y \( \dot{r}={dr}/{dt}\; \).

Me gustaría saber si es posible demostrar que:

\( \frac{{{\partial }^{2}}U}{\partial {{r}^{2}}}=\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\left[ \dot{r}\cdot \frac{\partial U}{\partial \dot{r}} \right] \)

[Richard R Richard]

Mi intento de resolver cada lado de la ecuación por regla de la cadena y las reglas de la derivación, suponiendo la independencia funcional  las variables \( r \) y \( \dot r \)  ha dado resultados discimiles,  resultando que no se puede demostrar o que la igualdad no es cierta.

[manooooh]

Hola

\( \frac{{{\partial }^{2}}U}{\partial {{r}^{2}}}=\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\left[ \dot{r}\cdot \frac{\partial U}{\partial \dot{r}} \right] \)

¿Cómo se interpreta el "con respecto a la derivada de \( r \)" en \[ \frac{\partial U}{\partial\dot r} \]? WolframAlpha no da ningún resultado:

https://www.wolframalpha.com/input?i=D%5B%28%CE%B1+Sqrt%5B1+-+r%27%5E2%2Fc%5E2%5D%29%2Fr%2C+%7Br%27%2C+1%7D%5D&lang=es

Nunca antes había visto que se derivase con respecto a una derivada. ¿Está bien copiado?

Desarrollo del miembro izquierdo

Por las dudas dejo la expresión resultante del lado izquierdo: https://www.wolframalpha.com/input?i=D%5B%28%CE%B1+Sqrt%5B1+-+r%27%5E2%2Fc%5E2%5D%29%2Fr%2C+%7Br%2C+2%7D%5D&lang=es

[cerrar]

Saludos

[JMMM]

Sí, mi duda y la razón del título, es esta que se apunta. Para poder proceder a la derivada parcial se ha de suponer que \( \dot{r} \) no depende de \( r \), aunque en realidad, \( \dot{r}={dr}/{dt}\; \). ¿Pero no se está perdiendo así información relevante?

Las derivadas parciales respecto a variables que son en realidad derivadas totales son habituales en Mecánica Racional.

[Richard R Richard]

Hola



¿Cómo se interpreta el "con respecto a la derivada de \( r \)" en \[ \frac{\partial U}{\partial\dot r} \]? WolframAlpha no da ningún resultado:

Hola manooooh, a \( \dot r \) lo tienes que interpretar como una variable independiente de \( r \), si te fijas en los lagrangianos y hamiltonianos para las ecuaciones movimiento de distintos potenciales en física,  se deriva respecto de la velocidad que por supuesto es una derivada.
Si se prefiere se cambia la notación  de \( r \) a \( u \) y de \( \dot r \) a \( v \) donde luego trata a \( u \) y a \( v \) como dos  variables inde pendientes es decir \( \dfrac {\partial v}{\partial u}=0 \) pero no son cero respecto del tiempo.
Si no me he vuelto a equivocar en sonseras, del lado derecho es un choclazo de ecuaciones que ninguna se simplifica,y del lado izquierdo es rápida simple y directa.

Le he buscado un significado físico a la formula , se asemeja a establecer una ecuación de onda en un espacio relativista, pero lo poco que se del tema es por pura pasión autodidacta.