Sea la función
\( U\left( r(t),\ v(t) \right)=\frac{\alpha }{r}\sqrt{\ 1-\frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}} \)
donde \( \alpha \) y \( c \) son constantes y \( v(t)={dr}/{dt}\; \).
Consideremos una transformación de la variable \( t \), tiempo, tal que
\( {t}'=t-{r(t)}/{c}\; \)
Si evaluamos \( U \) en \( t=t' \), obtenemos:
\( U\left( r({t}'),v({t}') \right)=U\left( r(t-{r(t)}/{c}\;),v(t-{r(t)}/{c}\;) \right) \) (A)
La pregunta es si puede demostrarse que (A) es de la siguiente forma:
\( U\left( r(t),v(t) \right)-v(t)\cdot \frac{\partial U}{\partial v}\left( r(t),v(t) \right) \) (B)
MI INTENTO:
He intentado probarlo del siguiente modo:
\( \Delta U=\left( \frac{\partial U}{\partial r} \right)\cdot \Delta r+\left( \frac{\partial U}{\partial v} \right)\cdot \Delta v \)
siendo
\( \Delta U={U}'-U \), \( \Delta r={r}'-r \), \( \Delta v={v}'-v \) y \( v=dr/dt\ \)
Entonces
\( {U}'=U+\left( \frac{\partial U}{\partial r} \right)\cdot \Delta r+\left( \frac{\partial U}{\partial v} \right)\cdot {v}'-\left( \frac{\partial U}{\partial v} \right)\cdot v \)
Para que la igualdad que queremos probar se satisfaga, se deberá cumplir que
\( 0=\left( \frac{\partial U}{\partial r} \right)\cdot \Delta r+\left( \frac{\partial U}{\partial v} \right)\cdot {v}' \)
Asumiendo (para \( \Delta t\ll 0 \)), y teniendo en cuenta que \( {t}'=t-r(t)/c \)
\( \Delta r=v\cdot \Delta t=v\cdot \left( {-r}/{c}\; \right) \)
Y \( {v}' \) debería ser igual a
\( {v}'=c\cdot \left( 1-\frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}} \right) \)
Pero no se me ocurre cómo demostrar esto último.
Creo que el planteamiento que he seguido es inadecuado. Por eso pido ayuda.
