Hola
El problema dice: Demostrar que si la matriz \( A \) admite \( LU \) entonces todos sus menores principales son no nulos.
Tengo una duda sobre esto y es que el teorema de \( LU \) asegura que toda matriz con todos sus menores principales no nulos admite \( LU \), entonces esta demostración se reduce simplemente a enunciar esto o requiere alguna otra prueba. En caso de hacerse de otra forma, por favor, expliquen cual es y como se hace.
Lo que te piden sería el recíproco del teorema que enuncias.
El teorema dice que si todos sus menores principales son no nulos, entonces la matriz admite factorización \( LU \).
Pero lo que te piden probar que es que si admite factorización \( LU \) entonces todos sus menores principales son no nulos. Para que sea cierto la matriz \( A \) tiene que ser no singular. En ese caso si:
\( A=LU \)
con \( L,U \) respectivamente triangular inferior y triangular superior, si llamas \( A_i,L_i,U_i \) a las matrices formadas por las primeras \( i \) filas y columnas respectivamente de \( A,L,U \), comprueba que:
\( A_i=L_iU_i \)
Dado que \( L,U \) son no singulares (por serlo \( A \)) entonces \( L_i,U_i \) son no singualres, y así \( A_i \) es no singular; su determinante es un menor principal, que es entonces no nulo.
Saludos.
