[Karen Rengifo]

Sea $$Y$$ compacto y $$\mathscr{F}$$ una familia de funciones continuas de valor real sobre $$Y$$ tales que:
a. Si $$f,g \in \mathscr{F}$$, entonces su producto $$f\cdot g \in \mathscr{F}$$ 
b. Para cada $$y\in Y$$ existe alguna vecindad $$U(y)$$ y algún $$f\in \mathscr{F}$$ que desaparecen idénticamente en $$U$$.

Probar que: $$\mathscr{F}$$ contiene la función  $$f \equiv 0$$

[Luis Fuentes]

Hola

Sea $$Y$$ compacto y $$\mathscr{F}$$ una familia de funciones continuas de valor real sobre $$Y$$ tales que:
a. Si $$f,g \in \mathscr{F}$$, entonces su producto $$f\cdot g \in \mathscr{F}$$ 
b. Para cada $$y\in Y$$ existe alguna vecindad $$U(y)$$ y algún $$f\in \mathscr{F}$$ que desaparecen idénticamente en $$U$$.

Probar que: $$\mathscr{F}$$ contiene la función  $$f \equiv 0$$

Por b) para cada \( y\in Y \) tienes un abierto \( U_y \) y una función \( f_y\in \mathscr{F} \) tal que \( (f_y)|_U=0 \).

Tienes entonces un recubrimiento por abiertos de \( Y \): \( \{U_y\} \).

Por ser \( Y \) compacto existe un subrecubrimiento finito \( \{U_{y_1},U_{y_2},\ldots,U_{y_n}\} \).

Por (a) el producdo \( f=f_{y_1}f_{y_2}\ldots f_{y_n}\in \mathscr{F} \). Comprueba que \( f \) es la función nula.

Saludos.

[Karen Rengifo]

Hola, ¿esta cubierta abierta  $$\{U_y\}$$ es la familia de vecindades que contienen a $$y$$?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, ¿esta cubierta abierta  $$\{U_y\}$$ es la familia de vecindades que contienen a $$y$$?

No. Esa cubierta es fruto de la hipótesis (b) del enunciado.

b. Para cada $$y\in Y$$ existe alguna vecindad $$U(y)$$ y algún $$f\in \mathscr{F}$$ que desaparecen idénticamente en $$U$$.

Para cada elemento $$y\in Y$$ existe un abierto $$U(y)$$ (yo le llamo $$U_y$$) y una función $$f_y\in \mathscr{F}$$ de manera que $$f_y$$ es nula sobre ese abierto $$U_y$$.

Esa es la familia de abiertos que yo considero.

Saludos.