[Karen Rengifo]

Sean \[ f:X \longrightarrow Y \], \[ g:Y \longrightarrow X \] continuas, con \[ g\circ f=1_x \]. Pruebe: Si \[ Y \] es Hausdorff también lo es \[ X \], y \[ f(X) \] es cerrado en Y.

[Karen Rengifo]

Veamos que $$X$$ es Hausdorff, en efecto:

Sean $$x_1,x_2\in X$$; como $$g\circ f=1_x$$ entonces $f$ es inyectiva y por tanto

$$f(x_1)\neq f(x_2)\longrightarrow x_1\neq x_2$$

Como $Y$ es un espacio Hausdorff entonces existen $$V_1,V_2 \subset Y$$ abiertos y disjuntos tales que

$$y_1\in V_1,\,\ y_2\in V_2$$

Como $$f$$ es continua $$f^{-1}(V_1)=U_1$$ y $$f^{-1}(V_2)=U_2$$, donde $U_1$, $U_2$ son abiertos y además,
\begin{equation*}
    \begin{split}
        U_1\cap U_2=&f^{-1}(V_1)\cap f^{-1}(V_2)\\
        =&f^{-1}(V_1\cap V_2)\\
        =&f^{-1}(\emptyset)\\
        =&\emptyset
    \end{split}
\end{equation*}

donde $$U_1, U_2 \in X$$, con $$x_1\in U_1, x_2\in U_2$$, por lo que $$X$$ es Hausdorff.

Pero no se como probar que \( f(X) \) es cerrada.

[Luis Fuentes]

Hola

Sean \[ f:X \longrightarrow Y \], \[ g:Y \longrightarrow X \] continuas, con \[ g\circ f=1_X \]. Pruebe: Si \[ Y \] es Hausdorff también lo es \[ X \], y \[ f(X) \] es cerrado en Y.

Considera la aplicación continua \( h:Y\to Y\times Y,\quad  h(y)=(f(g(y)),y) \). Si llamas:

\( \Delta=\{(y,y)\in Y\times Y\} \)

a la diagonal de  \( Y\times Y \), por ser \( Y \) Hausdorff, \( \Delta \) es cerrada.

Por ser \( h \) continua \( h^{-1}(\Delta) \) es cerrado en \( Y \). Comprueba que \( h^{-1}(\Delta)=f(X) \).

Saludos.

[Karen Rengifo]

Hola, pero $$f(g(y)) \neq y$$.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, pero $$f(g(y)) \neq y$$.

No estoy seguro de que quieres decir con ese pero.

Ten en cuenta que lo que sabemos es que $$g\circ f=id_X$$ pero NO que $$f\circ g=id_Y$$.

Ahora si \( f(g(y))=y \) entonces está claro que \( y\in f(X) \).

Recíprocamente si \( y\in f(X) \) entonces \( y=f(x) \) para algún \( x\in X \) y:

\( f(g(y))=f(g(f(x)))=f((g\circ f)(x))=f(x)=y \)

Es decir \( f(g(y)))=y \) si y sólo si \( y\in f(X) \), es decir \( h(y)\in \Delta \) si y sólo si \( y\in f(X) \), es decir, \( h^{-1}(f(X))=y. \)

Saludos.