a) para ambos casois hay que aplicar las propiedades del producto interno, la distributiva,asociativa y conmutativa
\( \alpha\beta\langle x, y\rangle=\langle \alpha x, \beta y\rangle \)
\( \langle x, y+z\rangle=\langle x, y\rangle+\langle x, z\rangle \)
\( \langle x, y\rangle=\langle y, x\rangle \)
\( \langle x+y, x+y\rangle-\langle x-y, x-y\rangle = \)
por distributiva y asociativa.
\( \langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle -(\langle x,x\rangle-\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle)= \)
acomodamos signos
\( \langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle -\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle-\langle y,y\rangle= \)
simplificamos
\( \cancel{\langle x,x\rangle}+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+\cancel{\cancel{\langle y,y\rangle}} -\cancel{\langle x,x\rangle}+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle-\cancel{\cancel{\langle y,y\rangle}}= \)
queda
\( \langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle= \)
por conmutativa
\( \langle x,y\rangle+\langle x,y\rangle+\langle x,y\rangle+\langle x,y\rangle= \)
tenemos 4 veces el mismo producto hacemos factor común
\( 1\cdot\langle x,y\rangle+1\cdot\langle x,y\rangle+1\cdot\langle x,y\rangle+1\cdot\langle x,y\rangle=\boxed{4\cdot \langle x,y\rangle } \color{green}\checkmark c.q.d. \)
Prueba con el otro y nos cuentas
