[Quema]

Hola

Supongamos que tengo el conjunto de funciones crecientes y cóncavas \( H \)y represento a un elemento de este conjunto como \( h \). Particiono esta familia en dos conjuntos disjuntos \( F,G \), por tanto \( H=F\cup{}G \). Represento a cada función de estos subconjuntos como \( f,g \)respectivamente.

Tengo tres variables aleatorias \( X,Y,Z \)
y se cumple que

\( Ef(X)\geq{}Ef(Z)\geq{}Ef(Y) \) y \( Eg(Y)\geq{}Eg(Z)\geq{}Eg(X) \)

¿ Existe \( a\in{}[0,1] \) tal que \( aEh(X)+(1-a)Eh(Y)\geq{}Eh(Z) \) ?


Saludos

PD Algo similar pregunté anteriormente, en esta espero haber mejorado la notación.

[Luis Fuentes]

Hola

 Que a veces no responda no quiere decir, necesariamente, que no esté bien explicada la pregunta, sino simplemente que no sé la respuesta. 

 Pero en este caso si he entendido bien, si que existe ese \( a. \)

 Tu función \( h \) ó está en la familia \( F \) o en la \( G \). Tomando \( a=0 \) ó \( a=1 \) en cada caso tienes la condición que quieres.

Saludos.

[Quema]

Hola

¿Y \( a\in{}(0,1) \)?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 En realidad tal como lo estás planteando, la función:

\(  \phi(a)=aEh(X)+(1-a)Eh(Y)  \)

 recorre todos los valores comprendidos entre \( Eh(X) \) y \( Eh(Y). \)

 Si suponemos que \( h\in F \), y por tanto:

\(  Eh(X)\geq Eh(Z)\geq Eh(Y) \)

 con \( Eh(X)\neq Eh(y) \) (si se da la igualdad la cosa es trivial). Entonces:

\(  \phi(a)\leq Eh(Z) \) para \( a\in [0,\displaystyle\frac{Eh(Z)-Eh(Y)}{Eh(X)-Eh(Y)}] \)

y

\(  \phi(a)\geq Eh(Z) \) para \( a\in [\displaystyle\frac{Eh(Z)-Eh(Y)}{Eh(X)-Eh(y)},1] \)

Saludos.

[Quema]

Hola

Cambio un poco la pregunta. Suponiendo que las funciones de distribución acumulada de \( X,Y,Z \)son \( F_1,F_2,F_3 \)respectivamente, y se cumplen las desigualdades anteriores, puedo decir que, existe \( b\in{}(0,1) \)

\( b\displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_1(t)dt+(1-b)\displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_2(t)dt\leq{}\displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_3(t)dt \) para todo \( x \).

Nota: del mismo modo que en este post (aunque se debe integrar por partes dos veces)
http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=11383.msg47238#msg47238

se puede probar que, dada \( u \)creciente y cóncava

\( Eu(X)\geq{}Eu(Y)\Longleftrightarrow{}\displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_1(t)dt\leq{}\displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_2(t)dt \)


Adelanto mi respuesta, no se si está bien.

Si se cumple que:

\(  \phi(a)\geq Eh(Z) \)

y por la propiedad de equivalencia de más arriba:

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_1(t)dt\leq{}\displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_3(t)dt\leq{}\displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_2(t)dt \) y \( \displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_2(t)dt\leq{}\displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_3(t)dt\leq{}\displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_1(t)dt \). Estas dos desigualdades deben darse al mismo tiempo (claro para distintos valores de \( x \)) pues de otra forma se cumpliría solamente una de ellas para toda función creciente y cóncava.

Por lo tanto, existirá un \( b\in{}(0,1) \)para el cual se cumpla la desigualdad.

Tengo duda si \( a=b \), me adelanto a decir que no tiene por qué.


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Uffff.... que lío se me hace todo.

 No me quedan nada claro las hipótesis que estás manejando. Cuando dices:

y se cumplen las desigualdades anteriores,

 Exactamente, ¿cuáles?.

 En general por cierta aceleración al escribir los mensajes, tiendes a poner con mucha ligereza las hipótesis, como con prisa, sin precisar bien. Dice el refrán:

 "Vísteme despacio que tengo prisa".

 Por otra parte,

\( Eu(X)\geq{}Eu(Y)\Longleftrightarrow{}\displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_1(t)dt\leq{}\displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_2(t)dt \)

 No lo he comprobado, pero me "creo" la implicación de derecha a izquierda. Pero la de izquierda a derecha, ¿exactamente como la enuncias?. Supongo que exiges que esa desigualdad se cumpla para TODA función \( u \) en las condiciones dadas y no para una sola.

Saludos.