Hola puedes confirmar que las fórmulas son
\( \theta_{(t)}=\sqrt{\left(\dfrac{v_2}{v_1}\right)^2-1}\quad\cdot\quad\ln\left(1+\dfrac{v_1(t-t_i)}{D}\right) \)
y
\( r_{(t)}=v_1(t-t_i)+D \)
Si es así, de la segunda ecuación despejas t en función de r
\( t=t_i+\dfrac{r_{(t)}-D}{v_i}=t_i+\dfrac{r-D}{v_i} \)
y lo reemplazas en la primera
\( \theta_{(r)}=\sqrt{\left(\dfrac{v_2}{v_1}\right)^2-1}\quad\cdot\quad\ln\left(1+\dfrac{v_1\left(\left[t_i+\dfrac{r-D}{v_i}\right]-t_i\right)}{D}\right) \)
\( \theta_{(r)}=\sqrt{\left(\dfrac{v_2}{v_1}\right)^2-1}\quad\cdot\quad\ln\left(\dfrac rD\right) \)
Saludos
