[mg]

Hola,

Primero defino la función $$f:C_R\Rightarrow{}\mathbb{C}$$ tal que $$f(z)=\displaystyle\frac{R^2-\bar{a}z}{R(z-a)}$$ con $$a\in{\mathbb{C}}$$ con $$|a|<R$$ y $$R>0$$ fijados. Donde $$C_R$$ es el disco cerrado centrado en 0 con radio R en el plano complejo.

Entonces en una demostración de un resultado de teoría analítica de números usa de forma automática que si $$|z|=R$$ entonces $$|f(z)|=1$$. Y eso es precisamente lo que me gustaría conocer como demostrarlo.

He intentado una primera forma tratando de acotar superiormente e inferiormente pero no ha dado resultado. Supongo que es porque esas cotas son muy complicadas de encontrar. Después se me ha ocurrido intentar hacerlo a lo bruto usando que el módulo es la suma del cuadrado de la parte real y la imaginaria, aun está por intentar.

Agradecería que me encaminaran en la buena dirección.

Un saludo.

[Masacroso]

Hola,

Primero defino la función $$f:C_R\Rightarrow{}\mathbb{C}$$ tal que $$f(z)=\displaystyle\frac{R^2-\bar{a}z}{R(z-a)}$$ con $$a\in{\mathbb{C}}$$ con $$|a|<R$$ y $$R>0$$ fijados. Donde $$C_R$$ es el disco cerrado centrado en 0 con radio R en el plano complejo.

Entonces en una demostración de un resultado de teoría analítica de números usa de forma automática que si $$|z|=R$$ entonces $$|f(z)|=1$$. Y eso es precisamente lo que me gustaría conocer como demostrarlo.

He intentado una primera forma tratando de acotar superiormente e inferiormente pero no ha dado resultado. Supongo que es porque esas cotas son muy complicadas de encontrar. Después se me ha ocurrido intentar hacerlo a lo bruto usando que el módulo es la suma del cuadrado de la parte real y la imaginaria, aun está por intentar.

Agradecería que me encaminaran en la buena dirección.

Un saludo.

Utilizando un poco de álgebra sale. Simplemente recuerda que \( |\alpha \cdot \beta |=|\alpha |\cdot |\beta | \), \( |\bar \alpha |=|\alpha | \) y que \( \alpha \cdot \bar \alpha =|\alpha |^2 \) para todo \( \alpha ,\beta \in \mathbb{C} \).

Solución

Si \( |z|=R \) entonces \( |z/R|=1 \), por tanto

\( \displaystyle{
\left|\frac{R^2-\bar a z}{R(z-a)}\right|=\frac{|R^2-\bar a z|}{R|z-a|}=\frac{|\bar z|}{R}\cdot \frac{|R^2-\bar a z|}{R|z-a|}=\frac{R^2|\bar z-\bar a|}{R^2|z-a|}=\frac{|\overline{z-a}|}{|z-a|}=1
} \)

[cerrar]

[mg]

Vaya, al final tuve que mirar la solución. Lo has hecho parecer muy fácil  Gracias.

[Masacroso]

Vaya, al final tuve que mirar la solución. Lo has hecho parecer muy fácil  Gracias.

Fui probando cosas. La demostración original era algo más larga, pero luego observé que se podía re-escribir de otra forma más compacta y sencilla. Por eso "parece" sencillo, pero no lo es tanto: hay que ir probando cosas, jugando con las identidades que nombraba antes, sacando factores comunes, etc...