Hola
Pruebe que \( f(x)=x(1−x) \) es continua si \( f:([0,1),d_∗)\to([0,1),d_{usu}) \) donde \( d_∗(x,y)=\min\{|x−y|,1−|x−y|\}. \)
Ahora la cosa es diferente. Si \( x\in (0,1) \) se tiene que \( 1-|x-y|\geq \min\{1-x,x\} \) para \( y\in [0,1) \), por tanto si \( \delta<\min\{1-x,x\} \) se tiene que:
\( d_*(x,y)<\delta\quad \Rightarrow{}\quad |x-y|<\delta\tag1 \)
Entonces para probar la continuidad en \( x \) tenemos en cuenta que:
\( \begin{align*}
|f(x)-f(y)|&=|x(1-x)-y(1-y)|\\
&=|x(1-x)-y(1-x)+y(1-x)-y(1-y)|\\
&\leq |x-y|(1-x)+y|x-y|\\
&=|x-y|(1-x+y)\\
&\leq 3|x-y|\tag2
\end{align*} \)
Dado \( \epsilon>0 \) basta tomar \( \delta<\min\{1-x,\color{red}x\color{black},\epsilon/3\} \) para que si:
\( d_*(x,y)<\delta \)
por (1) y (2) se tenga que:
\( |f(x)-f(y)|<\epsilon \).
Falta ver la continuidad en \( x=0 \).
En ese caso dado \( \epsilon>0 \):
\( |f(y)-f(0)|=|y(1-y)|\leq |y||1-y|| \)
Por otra parte:
\( d_*(0,y)=\min\{y,1-y\} \)
si \( d_*(0,y)<\epsilon \) o bien:
\( y<\epsilon \) y \( |f(y)-f(0)|=|y(1-y)|\leq |y||1-y||\leq y< \epsilon \)
o bien:
\( 1-y<\epsilon \) y \( |f(y)-f(0)|=|y(1-y)|\leq |1-y||< \epsilon \)
Y tomando \( \delta=\epsilon \) tenemos la continuidad.
Saludos.
CORREGIDO
