[Juanchoton]

Buenas, tengo que demostrar por definición que:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\sqrt[ 2]{(n^2)+1}-n} =0 \)

Comencé con la definición típica de que

\( \forall{\epsilon}>0 \exists{M}<n \) que implica \( |a_n -L|<\epsilon  \)

Cuanto mucho utilizo diferencia triangular del módulo, separando a la raíz y a \( -n \) con un más para que sea mayor o igual a la expresión anterior, obteniendo así

\( | \sqrt[ 2]{(n^2)+1}-n |\leq{\sqrt[ 2]{(n^2)+1} +n} \)

Pero a partir de ahí, ya sea deshaciéndome de la raíz usando menores iguales o intentando sumar o restar cosas siempre me queda una expresión de \( n< \epsilon \) que no me permite terminar en una expresión donde \( n \) sea mayor a alguna expresión en función de \( \epsilon  \).

Nota aparte: no sé como ven lo que publiqué pero me aparece con todo el lenguaje en bruto a mí, aún no entiendo bien si estoy escribiendo como se debe o no.

Mensaje de la moderación: se ha corregido el \( \LaTeX \) y la ortografía.
Recuerda leer y seguir las reglas del foro así como el tutorial de \( \LaTeX \) para escribir las expresiones matemáticas correctamente.

[Juan Pablo Sancho]

Las fórmulas matemáticas deben  escribirse entre [tex] y [/tex], para que se vea \( \dfrac{3}{4} \) debes escribir [tex]\dfrac{3}{4}[/tex].
Cuida la ortografía se te mencionó muchas veces.

Para resolver la duda ten en cueta:
\( \sqrt{n^2+1} - n = (\sqrt{n^2+1} - n ) \cdot \dfrac{\sqrt{n^2+1} + n}{\sqrt{n^2+1} + n}  \) con \( (a-b) \cdot (a+b) = a^2-b^2  \)

[Juanchoton]

Muchísimas gracias por la ayuda, me había olvidado de ese truco. Gracias también por la corrección y la aclaración de \( \LaTeX \) y ortografía, saludos.

Aún así como consulta un poco de distraído, al quedarme la expresión  \( \sqrt{n^2 +1}^2 -n^2 \) en la parte de arriba de la fracción se leería más bien como un \( (-1)\cdot (n^2) \), ¿verdad? Ya que de lo contrario seguiría teniendo una expresión molesta de \( n \).

Mensaje de la moderación: se ha corregido el \( \LaTeX \) y la ortografía.

[Juan Pablo Sancho]

Pero arriba quedaría \( (\sqrt{n^2+1})^2-n^2 = (n^2+1)-n^2 = 1  \).
Cuida la ortografía.