Hallar el inverso de [11] en Z/(31). Sugerencia: usar el algoritmo de Euclides para hallar el m.c.d.(31,11).
Si sé usar el algoritmo de euclides pero me pierdo en el resto.
El inverso modular, “b”, de un número “x” respecto de un cierto módulo “m”, es tal que \( xb \) da resto 1 al dividir entre el módulo “m”. En este caso x=11 y m=31. O sea, se puede describir así para que lo veas mejor
\( \dfrac{11b}{31}=a+\dfrac{1}{31}\Rightarrow
\)
\( 11b=31a+1\Rightarrow
\)
\( -31a+11b=1 \); donde da igual poner \( 31a+11b=1 \), porque las letras toman el signo que sea necesario (y es la misma igualdad que te ha puesto Luis).
Pero, como verás, no se ha hecho nada, la “b”, el inverso, sigue siendo una incógnita. Tienes que empezar a aplicar el algoritmo dividiendo 31 entre 11 y seguir hasta el último resto; y después ir componiendo la ecuación diofántica.
Te lo hago en spoiler, por si quizá eso de “
me pierdo en el resto” quisiera decir literalmente que te pierdes con los restos y te haces un lío.
Spoiler
O sea:
31 entre 11 toca a 2 y el resto es 9
\( {\color{blue}11}\cdot2+9={\color{blue}31}
\); despejas el resto
\( ({\color{blue}31)}-{\color{blue}(11)}\cdot2={\color{green}9}
\)
11 entre 9 toca a 1 y el resto es 2
\( {\color{blue}(11)}-9\cdot1={\color{green}2}
\)
9 entre 2 toca a 4 y el resto es 1
\( 9-4\cdot2={\color{green}1}
\)
Y el siguiente resto es cero; así el mcd es 1.
O sea, te quedan estas igualdades
\( {\color{blue}(31)}-({\color{blue}11)}\cdot2={\color{green}9}
\)
\( {\color{blue}(11)}-9\cdot1={\color{green}2}
\)
\( 9-4\cdot2={\color{green}1}
\)
Ahora tienes que ir sustituyendo las expresiones de los restos de arriba, en la igualdad de abajo; por orden hasta llegar arriba.
Entonces, primero con el resto 2. Buscas aquí un dos \( 9-4\cdot2={\color{green}1}
\), y lo cambias por la equivalencia al 2 en verde de arriba, que es el resto anterior
\( 9-4({\color{blue}(11)}-9\cdot1)={\color{green}1}
\).
Operas sin “deshacer” el 11 (sin cambiarlo por el resultado de un producto) pues el 11 pertenece a la ecuación principal, como el 31; y tampoco tienes que deshacer el 9 que es el próximo resto y hay que sustituir:
\( 9-4{\color{blue}(11)}+4\cdot9={\color{green}1}
\)
\( -4{\color{blue}(11)}+5\cdot9={\color{green}1}
\)
Seguidamente miras en la igualdad de más arriba, el resto es el 9, que está en verde otra vez, para que se vea. Entonces buscas en esta última igualdad un 9; y sustituyes de igual forma que se ha hecho antes
\( -4{\color{blue}(11)}+5({\color{blue}(31)}-({\color{blue}11)}\cdot2)={\color{green}1}
\)
\( -4{\color{blue}(11)}+5{\color{blue}(31)}-10({\color{blue}11)}={\color{green}1}
\)
\( 5{\color{blue}(31)}-14({\color{blue}11)}={\color{green}1}
\).
Ya está.
En la ecuación del principio, con las letras, tenías \( 31a+11b=1 \), luego “b” se corresponde con -14; que es equivalente a resto 17 módulo 31; porque -14+31=17.
Por tanto, si está bien hecho, al dividir \( 17\cdot11=187
\) entre 31 tiene que dar resto 1 (que no quiero ni comprobarlo porque seguro que está mal y ahora no me apetece corregir; ya después o mañana lo compruebo y si eso lo repaso y lo corrijo).
En este hilo lo tienes explicado de forma general y formal:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=26742.0
Saludos.
