[jquibae]

Estoy usando la llamada "Ecuación de Lagrange" (al menos en un libro de McGraw Hill de Mecánica Analítica) adjunta como imagen:

\( \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot q}-\dfrac{\partial T}{\partial q}=Q \)

donde:

\( T= \) Energía cinética
\( q= \) coordenada generalizada
\( Q= \) fuerza generalizada

La ecuación del asunto está en coordenadas generalizadas, pero consideremos emplear coordenadas cartesianas (que son un tipo de coordenadas generalizadas), por lo que la ecuación queda como se adjunta en el segundo archivo:

\( \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot x}-\dfrac{\partial T}{\partial x}=F \)

Ahora consideremos un problema simple como se ve en la figura adjunta:



Es simplemente una masa igual a \( 1 \), siendo "empujada" por una fuerza igual a \( 3 \) en el sentido positivo del eje \( X \). Y empezando en \( x=0 \) a una velocidad inicial igual a cero.
Considerando este convenio de signos (positivo hacia la derecha), las variables cinemáticas resultan:

\( F= +3 \)
\( a = +3 \)
\( x = \dfrac{3}{2} t^2 \)
\( T =\dfrac{9}{2} t^2 \)

Haciendo cambio de variable de \( t \) (tiempo) a \( x \) (espacio):

\( T = 3x \)

En este punto me propongo emplear la ecuación de Lagrange siendo en este caso \( T \) función (expresa y sólamente) de \( x \), por lo que la primera derivada es igual a \( 0 \), y aplicando la ecuación tenemos:

\( -3 = F \)

¿¿\( -3 = 3 \)

¿Alguien sabe dónde me equivoco?

Muchas gracias.
Mensaje corregido desde la administración.

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[Richard R Richard]

Te respondo con lo que dice la wikipedia en https://es.wikipedia.org/wiki/Lagrangiano

Lagrangiano de una partícula clásica en coordenadas rectangulares
Si suponemos como es habitual que un sistema clásico, está formado por partículas que se mueven en un espacio euclídeo tridimensional entonces el tensor métrico adopta la forma diagonal y el lagrangiano viene dado por:
\( L(x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z}) = \frac{m}{2}\dot{\mathbf{r}}^2-V(\mathbf{r}) \)
Y entonces el sistema resulta ser inercial, y las ecuaciones de Euler-Lagrange se reducen simplemente a las leyes de Newton:
\( m\ddot{\mathbf{r}} + \boldsymbol\nabla V = 0 \quad \Rightarrow \quad m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = -\boldsymbol\nabla V = \mathbf{F} \)

Tu lagrangiano

\( \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot x}-\dfrac{\partial T}{\partial x}=F \)

estaria mal planteado ya que debes hacer

\( \dfrac{d}{dt} \left({\partial L\over\partial \dot{x}}\right) - {\partial L\over\partial x} = 0 \)

para el lagrangiano

\( L(x,\dot{x}....) = \frac{m}{2}\dot{\mathbf{x}}^2-V(\mathbf{x}) \)

[jquibae]

Buenas

Muchas gracias por responder.

Sin embargo no encuentro respuesta a mi pregunta. La ecuación que estableces de partida la conozco (Ecuación de Lagrange para un sistema lagrangiano, en donde todas las fuerzas derivan de un potencial generalizado), pero eso no quiere decir que la que yo planteo esté mal, es más, como te digo, la ecuación que planteo está explícitamente recogida en el libro "Mecánica Analítica. Lagrangiana, Hamiltoniana y Sistemas Dinámicos. Francisco Javier Sanz Recio y Gonzalo Sánchez Arriaga. Mc Graw Hill Education. ISBN 978-84-486-1539-0" en la página 3. Si en la ecuación que planteo expreso T como función explícita de la velocidad, entonces dicha ecuación se me transforma satisfactoriamente en la 2ª ecuación de Newton, pero lo que no entiendo es por qué no funciona si expreso T como función de la posición.

[geómetracat]

No funciona porque el lagrangiano es un funcional. Es decir, el lagrangiano es una función que para cada par \( x \) y \( \dot{x} \) te da un número, pero \( x \) y \( \dot{x} \) aquí funcionan como las variables independientes del lagrangiano. Lo que no puedes hacer es sustituir ahí los valores para una trayectoria concreta, porque entonces lo que obtienes es una función que en realidad depende únicamente del tiempo \( t \).
Piensa que cuando se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange minimizando la acción se usa una variación en \( x \) y \( \dot{x} \), con lo cual es esencial que \( x \) y \( \dot{x} \) no sean trayectorias fijas, sino que sean variables.

[Richard R Richard]

Sigo pensando que esta mal planteado, puede ser que me equivoque pues hace mucho tiempo que no resuelvo nada práctico en lagrangianos.

Si usas

\( \dfrac{d}{dt} \left({\partial T\over\partial \dot{x}}\right) - {\partial T\over\partial x} = 0 \)

\( v=at=3t \)

\( T=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{9}{2}t^2 \)

\( \displaystyle\left({\partial T\over\partial \dot{x}}\right)=\left({\partial \dfrac{1}{2}mv^2\over\partial v}\right)=mv=3t \)

luego \( \displaystyle\dfrac{d}{dt} \left({\partial T\over\partial \dot{x}}\right)=\dfrac{d}{dt} 3t=3 \)

por otro lado

\( \displaystyle{\partial T\over\partial x}={\partial 3x\over\partial x}=3 \)

luego

\( \dfrac{d}{dt} \left({\partial T\over\partial \dot{x}}\right) - {\partial T\over\partial x} = 0 \)

reemplazas y tienes

\(  3 - 3 = 0 \color{green}\checkmark \)

[geómetracat]

Richard, yo creo que eso no puede estar bien. Si estás poniendo usando como lagrangiano únicamente la energía cinética en las ecuaciones de Euler-Lagrange, quiere decir que el potencial es cero (no hay fuerzas) y la solución es necesariamente un movimiento uniforme, con aceleración 0.