[zorropardo]

Probar que para todo $$m > 0,$$ la ecuación $$\sqrt{x}+m=x$$ tiene exactamente una raíz.
Hice lo siguiente: transpuse términos y elevé al cuadrado y así quedó: $$x_{1,2}=\frac{(2m+1) \pm{ \sqrt{4m+1}} }{2}$$ pero veo que tiene 2 raíces. Cómo verifico que tiene exactamente una raíz 

Moderación: por favor, cuida la ortografía. Es raíces, no raizes. También he cambiado el título a uno más informativo.

[manooooh]

Hola

Probar que para todo $$m > 0,$$ la ecuacion $$\sqrt{x}+m=x$$ tiene exactamente una raiz.
Hice lo siguiente: transpuse terminos y eleve al cuadrado y asi quedo: $$x_{1,2}=\frac{(2m+1) \pm{ \sqrt{4m+1}} }{2}$$ pero veo que tiene 2 raizes. Como verifico que tiene exactamente una raiz 

Dado que \( m>0\implies4m+1>0 \), o sea el discriminante de la ecuación cuadrática es positivo, así que tendrá dos soluciones reales distintas.

Pero dado que \( x\geq0 \) puesto que tenemos \( \sqrt x \) que es positiva, y además considerando la función \( f(x)=x-m \) con \( m>0 \) y \( x\geq0 \), esto nos garantiza que sólo existe un único punto de corte.

Para mayor detalle mejor espera la respuesta de alguien más.

Saludos

[delmar]

Hola

Probar que para todo $$m > 0,$$ la ecuacion $$\sqrt{x}+m=x$$ tiene exactamente una raiz.
Hice lo siguiente: transpuse terminos y eleve al cuadrado y asi quedo: $$x_{1,2}=\frac{(2m+1) \pm{ \sqrt{4m+1}} }{2}$$ pero veo que tiene 2 raizes. Como verifico que tiene exactamente una raiz 

La idea es buena, denomina \( y=\sqrt[ ]{x} \), observa como dice manooooh que \( y\geq{0} \) entonces la ecuación es  \( y+m=y^2\Rightarrow{y^2-y-m=0} \) las soluciones son :

\( y_1=\displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{1+4m}}{2}\wedge y_2=\displaystyle\frac{1-\sqrt[ ]{1+4m}}{2} \), la primera siempre es positiva y la segunda siempre es negativa, en efecto :

\( m>0\Rightarrow{4m>0\Rightarrow{4m+1>1}}\Rightarrow{\sqrt[ ]{4m+1}>1}\Rightarrow{1-\sqrt[ ]{4m+1}<0}\Rightarrow{y_2=\displaystyle\frac{1-\sqrt[ ]{4m+1}}{2}<0} \) en consecuencia la única solución es .....


Saludos

[zorropardo]

Hola, gracias por la respuesta. Entonces puedo afirmar que como inicialmente se tomo $$y \geq{ 0}$$ la ecuacion tiene exactamente una raiz $$y=y_1 >{ 0},$$ verdad .

[delmar]

Sí, pero es \( y_1 \)

Saludos

[zorropardo]

Es verdad, gracias ya lo corregi.