Hola
Hola, buenas tardes.
Tengo un problema de comprension del siguiente problema Sea \( H:D\subset \Bbb R^2\to \Bbb R \) definida como \( H(x,y)= log(9-x^2-3y^2) \).
1) Escribe el \( D \) más amplio posible
2) Escribe \( Int(D) \) y \( Frontera(D) \)
Aquí la solución del \( 1 \) es \( \{(x,y)\in \Bbb R^2|9-x^2-3y^2 >0\} \).
Pero la 2) el \( int(D)= D \) pues es abierto, pero la Frontera de \( D=\emptyset \) ya que no tiene frontera
Sin embargo mi docente me dijo que si tiene frontera, ¿alguien me puede explicar entonces bien la definición y con más ejemplos quizás?
¿O tengo razón yo? Me confunde mucho ya que yo asumo que no tiene frontera pues si " = 0 " no es posible ya que no estaría definido y además es abierto estricto.
En primer lugar la región \( D \) es la parte interior de la elipse que ves en el dibujo. ¿Desde el punto de vista intuitivo y casi coloquial cuál dirías que es su frontera?¿No dirías que es el borde de le elipse, la línea punteada?.
Formalmente quizá tienes el prejuicicio de que la frontera tiene que ser parte del conjunto; pero no. Un punto está en la frontera si cualquier bola abierta centrada en el mismo corta tanto al conjunto como a su complementario. En el dibujo cualquier punto de la elipse que bordea la zona azul cumple esa propiedad.
Por dejarlo más claro, tanto si tomas el conjunto \( \{(x,y)\in \Bbb R^2|9-x^2-3y^2 >0\} \) (con mayor estricto) como si tomas
\( \{(x,y)\in \Bbb R^2|9-x^2-3y^2 \geq 0\} \) (con mayor o igual), la frontera sigue siendo la misma: la elipse que bordea la región.
Y la otra duda, es Porque si el discriminante en clasificación de una función de \( 2 \) variables es \( =0 \) porque no decimos que no decide? cual es la justificación más clara posible.
Supongo que te refieres al determinante de la matriz Hessiana de segundas derivadas.
Considera las funciones \( f(x,y)=x^4+y^4 \), \( g(x,y)=-x^4-y^4 \) y \( h(x,y)=x^4-y^4 \). Comprueba que todas tienen determinante de Hessiano cero en el origen, sin embargo la primera tiene un mínimo en el origen, la segunda un máximo y la tercera un punto de silla (ni máximo, ni mínimo).
Saludos.
