Buenas noches.
Mi duda es sobre si existe algún criterio (similar al radio de convergencia para las series de potencias) para determinar la convergencia (o no) de una serie de senos $$\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \sen(nx)$$ ($$a_n \in \mathbb{R}$$).
Hay muchos criterios de convergencia de series, mira
aquí una muestra de algunos.
Además, ¿existe alguna serie $$\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \sen(nx)$$ que converja uniformemente a una función $$f(x) \in C^{1}(\mathbb{R})$$ pero si $$\alpha>0$$, entonces $$\sum_{n=1}^{+\infty} (e^{\alpha n^2}a_n) \sen(nx)$$ no converja puntualmente para algún $$x \in [0, \pi]$$?
Sin duda que tales series existen, por ejemplo puedes tomar \( a_n:=\frac{\operatorname{sen}(n\pi/2)}{n^3} \), entonces la primera serie converge uniforme y absolutamente en \( [0,\pi] \), y además su serie de derivadas \( \sum_{n=1}^{\infty }n a_n\cos(nx) \) también lo hace, ergo \( \sum_{n=1}^{\infty }a_n \operatorname{sen}(nx) \) converge a una función continuamente diferenciable.
Pero la segunda serie dada por \( \sum_{n=1}^{\infty }e^{\alpha n^2}a_n \operatorname{sen}(nx) \) no converge si \( x=\pi/2 \).
