[mg]

Hola,

El ejercicio es como sigue: Sea $$R$$ un anillo tal que $$d=mcd(a,b)$$ prueba que la forma normal Smith (FNS) de la siguiente matriz

\( \begin{pmatrix}{a}&{-4b}\\{b}&{a}\end{pmatrix} \) , es

\( \begin{pmatrix}{d}&{0}\\{0}&{\displaystyle\frac{(a^2+4b^2)}{d}}\end{pmatrix} \).

Es un ejercicio al que le he dado muchas vueltas pero no soy capaz de llegar a la FNS con esa información. Agradecería mucho si me dan la solución.

Un saludo.

PD: Si fuera necesario que $$R$$ sea DIP, que así sea. Este ejercicio es de un examen y no recuerdo si entraba en las hipótesis o no.

[mg]

Por si sirviera de ayuda pensé en usar de identidad de Bezout para llegar a la solución, pero solo parece complicar más las cuentas. Es cierto que consigo que aparezca $$d$$ pero acompañado de muchos sumandos.

[geómetracat]

Puedes seguir el algoritmo que da la Wikipedia aquí, y sale.

En efecto la idea es usar la identidad de Bézout. Tenemos que (uso la misma notación que en la Wikipedia) \( \sigma a + \tau b = d \), de donde \( \sigma \alpha + \tau \gamma = 1 \), con \( \alpha := a/d \) y \( \gamma := b/d \). Entonces la matriz \( \begin{pmatrix}{\sigma}&{\tau}\\{-\gamma}&{\alpha}\end{pmatrix} \) es invertible (porque tiene determinante \( 1 \)), y si multiplicas por la izquierda con la del problema te queda:
\[ \begin{pmatrix}{d}&{-4\sigma b + \tau a}\\{0}&{\frac{a^2+4b^2}{d}}\end{pmatrix} \].
Y ahora ya estás, porque la entrada de fuera de la diagonal es un múltiplo de \( d \) (al serlo tanto \( a \) como \( b \)), y por tanto restando de la segunda columna un múltiplo adecuado de la primera columna (que corresponde a multiplicar por una matriz invertible por la derecha) puedes hacer cero la entrada de fuera de la diagonal. Y ya te queda la matriz que te dan.