El ejercicio es probar que existe un isomorfismo entre \( \displaystyle\frac{\mathbb{Z}[i]}{(z)} \) y \( \displaystyle\frac{\mathbb{Z}[i]}{(\bar{z})} \), donde \( z\in\mathbb{Z}[i] \).
Para ello defino el homomorfismo \( f:\displaystyle\frac{\mathbb{Z}[i]}{(z)}\longrightarrow{}\displaystyle\frac{\mathbb{Z}[i]}{(\bar{z})}:a+bi+(z)\longrightarrow{}a-bi+(\bar{z}) \).
Supuestamente es trivial. Así que vamos a ello. Veamos primero el $$ker (f)$$. \( f(a+bi+(z))=0\Longleftrightarrow{}a-bi+(\bar{z})=0+(\bar{z})\Longleftrightarrow{}a-bi=k\bar{z} \), con k en los enteros de Gauss. Y aquí es donde no estoy seguro al cien por cien de sea correcto lo que voy a hacer.
Entonces como $$\overline{a+bi}=a-bi$$ se tiene que debe ser que $$a+bi=\overline{a-bi}=k\overline{\overline{z}}=kz$$, pero en el anillo de salida eso es la clase del 0, luego el kernel de f es el trivial, y por tanto es inyectiva.
Está bien, solo que te ha faltado conjugar también el \( k \). Debería ser: $$a+bi=\overline{a-bi}={\color{red}\overline{k}}\overline{\overline{z}}={\color{red}\overline{k}}z$$.
Ahora la sobreyectivad. Sea $$c-di+(\overline{z})$$ un elemento del anillo de llegada. Entonces $$c+di+(z)$$ es una preimagen. Por tanto es sobreyectiva.
Está perfecto, no sé qué es lo que no te convence. No hay que meterse en divisiones euclídeas ni nada parecido, es complicarse la vida (aún así, la división euclídea la harías en \( \Bbb Z[i] \), donde siempre puedes hacerla). Es una tontería, pero quizás sería más natural decir que dado cualquier $$c+di+(\overline{z})$$ entonces $$c-di+(z)$$ es una preimagen, porque normalmente piensas los elementos del anillo de Gauss como de la forma \( c+di \).
Quizás lo único que faltaría por ver, para hacer todos los detalles, es ver que la aplicación está bien definida (que también es fácil).
Otra manera de plantear el problema es la siguiente. La conjugación es un isomorfismo \( \Bbb Z[i] \to \Bbb Z[i] \) (de hecho una involución, ya que es su propia inversa), que lleva cualquier ideal \( (z) \) en \( (\overline{z}) \). Por tanto, induce aplicaciones \( f:\Bbb Z[i]/(z) \to \Bbb Z[i]/(\overline{z}) \) y \( g:\Bbb Z[i]/(\overline{z}) \to \Bbb Z[i]/(z) \) que son inversas, luego son isomorfismos.
