[Jozy]

Probar que el espacio  $$C[a, b]$$ equipado con la norma $$\|\cdot\|_{\text {1}}$$ definida por
$$
\|f\|_1=\int_a^b|F(x)| d x
$$
Es completo

[Luis Fuentes]

Hola

Probar que el espacio  $$C[a, b]$$ equipado con la norma $$\|\cdot\|_{\text {n }}$$ definida por
$$
\|f\|_n=\int_a^b|F(x)| d x
$$
Es completo

Pero no es completo.

Toma la sucesión de funciones definidas en \( [0,2] \) que valen \( 1 \) en \( [0,1] \), \( 0 \) en \( [1+1/n,2] \) y el el resto el segmento de recta que une los dos trozos de función.


Prueba que es de Cauchy pero no tiene límite.

Saludos.

[Jozy]

podria ser algo así:

[Luis Fuentes]

Hola

 Está bien. Aunque un matiz. Dices:

 "by definition of completeness of space 

\( f_n\to f \) point wise and \( f\in C([a,b]) \)."

 Lo que dice la definición de espacio completo es que si una sucesión es de Cauchy entonces tiene que tener límite, es decir, tiene que existir \( f\in C([a,b]) \) tal que \( f_n\to f \) con la norma uno. Ahora bien lo que se tiene es que si \( f_n\to f \) con la norma uno, y las funciones son continuas entonces se tiene la convergencia puntual \( f_n\to f \). Con este matiz si funciona el argumento.

Saludos.