[marinavzqz]

Buenas tardes, tengo la siguiente cuestión sobre ideales:

Un anillo local es un anillo que tiene un único idea maximal. Demostrar que los anillos k[[T]] y k{{T}} son locales. ¿Cuáles son sus ideales maximales?

gracias

[geómetracat]

Para el anillo de series formales, \( k[[T]] \), el único ideal maximal es \( (T) \). Tienes que demostrar que una serie formal es invertible si y sólo si su término independiente es no nulo. Como las series con término independiente nulo son las del ideal \( (T) \), esto prueba que el anillo es local con ideal maximal \( (T) \) (recuerda que si el conjunto de elementos no invertibles de un anillo es un ideal, entonces el anillo es local).

Para probar que una serie con término independiente no nulo es invertible, la idea es que si tienes una serie \( a_0+a_1T+a_2T^2+\dots \) con \( a_0 \neq 0 \) entonces puedes encontrar una inversa imponiendo:
\( 1=(a_0+a_1T+a_2T^2+\dots)(b_0+b_1T+b_2T^2+\dots) = a_0b_0 + (a_0b_1+a_1b_0)T + \dots \) y obteniendo los coeficientes \( b_i \) recursivamente. Por ejemplo, igualando términos independientes tenemos \( a_0b_0=1 \), de donde obtenemos \( b_0=\frac{1}{a_0} \). Ahora igualando los coeficientes de \( T \) tenemos que \( 0=a_0b_1+a_1b_0 \). Sustituyendo el valor que hemos encontrado para \( b_0 \) podemos despejar \( b_1 \). Y así sucesivamente.
Es solo cuestión de escribir este argumento en forma rigurosa y compacta.


Para el otro caso no estoy totalmente seguro de la notación. ¿Podrías aclarar cuál es el anillo \( k\{\{T\}\} \)?

[marinavzqz]

Buenas, el de series de Puiseux:
\(k\lbrace \lbrace t \rbrace \rbrace=\cup_{N=1}^{\infty}{k((t^{1/N}))}\) donde los elementos son series de potencias
\(c(t)=c_1t^{a_1}+c_2t^{a_2}+c_3t^{a_3}+...\)

[marinavzqz]

Buenas,
¿sería el mismo argumento que para la serie formal? pero esta vez escribiendo \(f(T)=q(T^{1/r})= a_0+ a_1T^{1/r}+a_2T^{2/r}+...\)
Entonces puedo encontrar un g(T) tal que g(T)·f(T)=1 y de nuevo obtengo los coeficientes \(b_i\)

Es esto correcto?
gracias

[geómetracat]

Buenas,
¿sería el mismo argumento que para la serie formal? pero esta vez escribiendo \(f(T)=q(T^{1/r})= a_0+ a_1T^{1/r}+a_2T^{2/r}+...\)
Entonces puedo encontrar un g(T) tal que g(T)·f(T)=1 y de nuevo obtengo los coeficientes \(b_i\)

Es esto correcto?
gracias

Así a bote pronto yo diría que sí. De nuevo las invertibles serían las que tienen término independiente no nulo. De hecho podrías reciclar el argumento del caso anterior, porque una serie de Poisseux sería una serie de potencias formal en un anillo de series formales dado, y ahí se aplica el argumento anterior.