Hola
Sea \( f: \mathbb{N}\to \mathbb{N} \) dada por
\( f(n)=\begin{cases}{0}&\text{si}& n\le 1\\
f(n-1) & \text{si}& f(n-1)\ne f(n-2)\\
f(n-1)+1 & \text{si}& f(n-1)=f(n-2)\end{cases} \)
Calcular valores concretos de \( f \) y conjeturar una forma explícita de \( f. \)
Tienes \( f(0)=f(1)=0 \) porque \( 0,1\leq 1 \).
Para hallar \( f(2) \) comparamos \( f(2-1)=f(1)=0 \) con \( f(2-2)=f(0)=0 \). Como son iguales \( f(2)=f(2-1)+1=f(1)+1=1 \).
Para hallar \( f(3) \) comparamos \( f(3-1)=f(2)=1 \) con \( f(3-2)=f(1)=0 \). Como son distintos \( f(3)=f(3-1)=f(2)=1 \).
Para hallar \( f(4) \) comparamos \( f(4-1)=f(3)=1 \) con \( f(4-2)=f(2)=1 \). Como son iguales \( f(4)=f(4-1)+1=f(3)=2 \).
De ahí es fácil intuir que si sigues las imágenes, de los sucesivos números irán siendo \( 0,0,1,1,2,2,3,3,\ldots \).
Es decir si \( n \) es par: \( f(n)=n/2 \) y si \( n \) es impar \( f(n)=(n-1)/2 \).
Prueba por inducción que esto es así.
Saludos.
P.D. No titules los hilos con títulos tan genéricos como "Problema de funciones 1,2,3..." ó "Problema de geometría 1,2,3..." distinguidos sólo por un número. Pon títulos más descriptivos del problema en concreto. Te los he ido corrigiendo.
