Hola
Sea $$( X ,||\cdot{}||)$$ un espacio normado. Sea $$\{x_{n}\}$$ y$$\{y_{n}\}$$ dos sucesiones de Cauchy en $$X$$ pruebe que:
$$K_{n}=\|x_{n} - y\|$$ converge.
Supongo que quieres decir: $$K_{n}=\|x_{n} - \color{red}y_n\color{black}\|$$
Nota que:
\( |K_n-K_m|=|\|x_n-y_n\|-\|x_m-y_m\||\leq \|x_n-y_n-x_m+y_m\|\leq \|x_n-x_m\|+\|y_n-y_m\| \)
y usando que las dos sucesiones son de Cauchy, prueba que \( \{K_n\} \) es de Cauchy en \( \Bbb R \). Como éste es completo, la sucesión converge.
Saludos.
