[Berner]

Si $$a, b$$ son enteros y $$7 \nmid a, 7 \nmid b$$, demuéstrese que $$7 \nmid\left(a^2+b^2\right)$$.

[martiniano]

Hola.

Yo me basaría en que los posibles restos cuadráticos no nulos módulo 7 son \[ \{1,4,2\} \]. Y es imposible sumar un múltiplo de 7 con sólo dos de ellos.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Si $$a, b$$ son enteros y $$7 \nmid a, 7 \nmid b$$, demuéstrese que $$7 \nmid\left(a^2+b^2\right)$$.

De hecho basta que uno de los dos NO sea divisible por siete:

Si $$a, b$$ son enteros y $$7 \nmid a$$ ó $$7 \nmid b$$, demuéstrese que $$7 \nmid\left(a^2+b^2\right)$$.

Saludos.

[geómetracat]

Me había parecido ver antes de título del tema algo así como "enteros gaussianos". Una prueba muy simple con enteros gaussianos, si sabes la teoría, es la siguiente. Supón que \( 7 \mid a^2+b^2=(a+bi)(a-bi) \). Como \( 7 \) es primo en \( \Bbb Z[i] \) (porque \( 7 \equiv 3 \mod 4 \)), tienes que de hecho \( 7 \mid (a+bi) \) o \( 7 \mid (a-bi) \). De cualquiera de los dos casos se sigue inmediatamente que \( 7 \mid a \) y \( 7 \mid b \).

[Luis Fuentes]

Hola

Me había parecido ver antes de título del tema algo así como "enteros gaussianos". Una prueba muy simple con enteros gaussianos, si sabes la teoría, es la siguiente. Supón que \( 7 \mid a^2+b^2=(a+bi)(a-bi) \). Como \( 7 \) es primo en \( \Bbb Z[i] \) (porque \( 7 \equiv 3 \mod 4 \)), tienes que de hecho \( 7 \mid (a+bi) \) o \( 7 \mid (a-bi) \). De cualquiera de los dos casos se sigue inmediatamente que \( 7 \mid a \) y \( 7 \mid b \).

Si, cambié yo el título por hacerlo menos genérico   . Supongo que el problema está relacionado con este:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=121699.msg491200#msg491200

Saludos.

[geómetracat]

Si, cambié yo el título por hacerlo menos genérico   . Supongo que el problema está relacionado con este:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=121699.msg491200#msg491200

Ah pues sí, tiene mucho sentido. A partir de ese resultado se puede hacer más o menos la misma demostración pero ahorrándose el saber que un número entero es primo en \( \Bbb Z[i] \) si y solo si es congruente a \( 3 \) módulo \( 4 \).
Copio el enunciado:
\( \text { Sea } M=\{a+b i \mid a, b \in Z, 7 / a \wedge 7 / b\} \text { ¿ Es } M \text { un ideal máximal? } \)
Ya se vió allí que es un ideal maximal. Si \( 7 \mid a^2+b^2 \) entonces \( a^2+b^2=(a+bi)(a-bi) \in M \). Como \( M \) es maximal en particular es primo, luego \( a+bi \in M \) o \( a-bi \in M \). En cualquiera de los casos, \( 7 \mid a \) y \( 7 \mid b \).