Hola
Demuestre que todo subespacio cerrado de un espacio de Banach es un espacio de Banach.
Si tienes \( (X,\|\cdot\|) \) espacio de Banach (normado y completo) y \( S\subset X \) subespacio cerrado, es inmediato que la norma restringe a \( S \) y por tanto \( (S,\|\cdot\|) \) es normado.
Para ver que es de Banach, hay que ver que es completo, es decir, que toda sucesión de Cauchy es convergente en \( S \). Pero:
- Una sucesión \( \{x_n\} \) de Cauchy en \( S \) es de Cauchy en \( X \).
- Por ser\( X \) de Banach (completo) la sucesión \( \{x_n\} \) converge a \( x\in X \).
- Por ser \( S \) cerrado, si \( \{x_n\}\to x \) y \( \{x_n\}\subset S \) entonces \( x\in S \).
- Y por tanto \( \{x_n\} \) es convergente en \( S \).
Saludos.
