Hola
Corolario: sea \( f \) una función que admite límite en \( x_0 \), si hay dos suceciones \( \{a_n\} \) y \( \{b_n\} \) que convergen a \( x_0 \) tales que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}f(a_n)\neq \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(b_n)} \) donde ambos limites existen, entonces no existe \( \displaystyle\lim_{x \to{+}x_0}{f(x)} \)
Como pones "corolario" uno quiere pensar que lo debes de demostrar como consecuencia de un resultado anterior; habría que saber a que resultado se refiere. Posiblemente:
"Teorema: Si \( f \) es una función tal que existe el límite \( \displaystyle\lim_{x \to{+}x_0}{f(x)}=L \) y \( \{a_n\} \) es una sucesión convergente a \( x_0 \) entonces \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}{f(a_n)}=L \) "
Si partimos de ahí tu corolario es inmediato. Por el teorema anterior si existiese \( \displaystyle\lim_{x \to{+}x_0}{f(x)}=L \) entonces como \( \{a_n\},\{b_n\} \) son sucesiones convergentes a \( x_0 \) debería de cumplirse \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}{f(a_n)}=L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{f(b_n)} \), y eso contradice la hipótesis de \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}f(a_n)\neq \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(b_n)} \).
Si quieres una demostración directa del corolario o a partir de otro teorema distinto, vuelve a preguntar.
Saludos.
