[davidclfm]

Buenas noches.

¿Alguien podría a ayudarme a resolver el siguiente problema?

Sea $$\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$$ tal que las secciones $$\Omega(x, \cdot)=p_1^{-1}(\Omega \cap (\{x\} \times \mathbb{R}))$$, $$\Omega (\cdot, y)=p_2^{-1}(\Omega \cap (\mathbb{R} \times \{y\}))$$ son intervalos (i.e. conexos) abiertos para cada $$x, y \in \mathbb{R}$$

¿Esto implica que $$\Omega$$ sea conexo?

Un saludo y muchas gracias

[davidclfm]

También me serviría con probar que las proyecciones $$p_1(\Omega)$$, $$p_2(\Omega)$$ son conexos (i.e. intervalos)

[geómetracat]

¿Alguien podría a ayudarme a resolver el siguiente problema?

Sea $$\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$$ tal que las secciones $$\Omega(x, \cdot)=p_1^{-1}(\Omega \cap (\{x\} \times \mathbb{R}))$$, $$\Omega (\cdot, y)=p_2^{-1}(\Omega \cap (\mathbb{R} \times \{y\}))$$ son intervalos (i.e. conexos) abiertos para cada $$x, y \in \mathbb{R}$$

¿Esto implica que $$\Omega$$ sea conexo?

Supongo que querías decir:
$$\Omega(x, \cdot)=p_1(\Omega \cap (\{x\} \times \mathbb{R}))$$, $$\Omega (\cdot, y)=p_2(\Omega \cap (\mathbb{R} \times \{y\}))$$
sin los inversos.

De que las secciones sean conexas no se sigue que \( \Omega \) sea conexo. Un contraejemplo sencillo es un par de cuadrados "desalineados" como \( \Omega=[0,1]\times[0,1] \cup [2,3] \times [2,3] \). Ahí todas las secciones tanto horizontales como verticales son conexas (intervalos) pero sin embargo \( \Omega \) es claramente no conexo.

[davidclfm]

Hola, Geómetracat

Sí, me había equivocado con los inversos. Ya veo que la proposición es falsa.

Muchas gracias por tu ayuda