[davidclfm]

¡Hola a todos!

Os comento un problema que me ha surgido al resolver la siguiente EDP:

Determinar el conjunto de las funciones \( u(x, y) \in C^2(\mathbb{R}^2) \) tales que \( \frac{{\partial^2 u(x, y)}}{{\partial x^2}} + y\cdot \frac{{\partial u(x, y)}}{{\partial x}} = 0 \)

 
Mi argumento inicial ha sido el que adjunto en el Archivo 1, pero estoy teniendo problemas para encontrar una condición suficiente y necesaria sobre las funciones parámetro que he deducido para tener que \( u \in C^2(\mathbb{R}^2) \). Posteriormente (después de consultar al profesor), he cambiado las definiciones de las funciones parámetro \( f, \; g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) a las mostradas en el Archivo 2 (disculpen la presentación, espero que se entienda), y parece que resulta más fácil encontrar condiciones necesarias para las funciones. A \( g \) parece que bastará con exigirle \( g \in C^2(\mathbb{R}) \) pero sigo sin tener claro qué hay que exigirle a \( f \). ¿Alguien podría echarme una mano con este problema?

¡Muchas gracias de antemano!

[Luis Fuentes]

Hola

 Si no me equivoco llegas a que la solución general de la ecuación cuando \( y\neq 0 \) es:

\(  u(x,y)=f(y)e^{-yx}+g(y) \)
 
 y si pretendes que sean de clase dos, las dos funciones \( f,g \) tienen que ser de clase dos.

 Cuando \( y=0 \), la solución debe de ser de la forma \( u(x,0)=ax+b \). Pero si pretendemos que \( u \) sea de clase dos y en particular continua en todo el plano, necesariamente:

\(  u(x,0)=\displaystyle\lim_{y \to 0}{}f(y)e^{-yx}+g(y)=\displaystyle\lim_{y \to 0}{}f(y)+g(y)) \)

 Es decir basta exigir que \( f,g \) sean de clase dos en todo el plano y definir:

 \(  u(x,y)=f(y)e^{-yx}+g(y) \)

Saludos.

[davidclfm]

En primer lugar, muchas gracias por tu respuesta.

Según me ha explicado mi profesor, exigir que $$f, g \in C^2(\mathbb{R})$$ es condición suficiente para que $$u \in C^2(\mathbb{R^2})$$, pero no es necesaria. Suponiendo que existen los límites para $$f, g$$, cuando $$y \to 0$$, está claro que no puede haber dependencia respecto de $$x$$ en la sección $$y = 0$$, y entonces la solución general quedaría $$u(x, y) = f(y)e^{-yx}+g(y), \; f, g \in C^2(\mathbb{R})$$.

Pero si, por ejemplo, $$f(y)=-\frac{1}{y}$$ y $$g(y)=\frac{1}{y}$$, entonces, por infinitésimo equivalente $$(e^{-yx}-1) \sim -yx$$ tenemos exactamente:

$$\displaystyle\lim_{y \to 0}{f(y)e^{-yx}+g(y)}=x, \;\; \forall x \in \mathbb{R}$$

Así, podríamos jugar con funciones de modo que el límite en $$y \to 0$$ sí dependa de $$x$$.

Por lo que he estado estudiando, parece que la clave está en que $$f(y)$$ puede divergir en 0, pero como máximo a la velocidad de $$y^{-1}$$.

En el Archivo 2, he cambiado las definiciones (utilizando el TFC) para que todos los problemas estén en la $$f$$ (la $$g$$ ahora sí tiene que ser clase 2). Además, ahora $$f$$ por lo menos tiene que ser clase 1, pero todavía estoy intentando ver qué exigirle a $$f$$ (a lo mejor ahora con la redefinición de la constante a $$\tilde{f}(y)=-\frac{f(y)}{y}$$ la condición necesaria y suficiente sí queda $$f \in C^2(\mathbb{R})$$, no lo tengo claro).

Edit: Además, está claro que alejados de $$y = 0$$, la $$f$$ también tendrá que ser clase 2, solo quedan por conocer las condiciones en 0 a parte de $$f \in C^1$$.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ya te entendí. Tomas:

\(  u(x,y)=\dfrac{-f(y)}{y}(e^{-xy}-1)+g(y) \)

 En un rato intento mirarlo...

Saludos.

[davidclfm]

Buenas tardes.

Creo que ya tengo la Solución General:

$$u(x, y)=f(y) \cdot x \cdot E(-xy)+g(y), \; \; f, g \in C^2(\mathbb{R})$$, donde $$E(z)$$ es la serie de potencias real $$E(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)!}\cdot z^n$$

Adjunto el razonamiento que he seguido en el Archivo 3.

Un saludo.