Gracias! tenia intención de referirme más o menos superficialmente a la siguiente cuestión: el hecho de que los autovalores y el polinomio característico no sean propiedades de la matriz sino del endomorfismo al que representan, se puede reexpresar en términos del endomorfismo específico en cuestión como un módulo; en particular, como un módulo sobre un anillo de matrices (digamos \( M_{R} \))? (en este respecto, pienso que tal vez tiene relevancia el llamado "Teorema sobre la factorización de módulos sobre PIDs" (?); el enfoque en términos de módulos sería (una posibilidad del llamado enfoque) "libre de coordenadas"?
Sí, los tiros van por ahí. Pero deberías usar los términos con más precisión, porque muchas veces se hace difícil entender lo que dices. Un endomorfismo no es (ni se reexpresa como) un módulo. Si tienes un endomorfismo \( f:V \to V \), lo que se hace es considerar el \( k \)-espacio vectorial \( V \) como un \( k[x] \)-módulo, donde la acción de un polinomio \( p(x) \in k[x] \) sobre un vector \( v \in V \) viene dada por \( p(x)\cdot v := p(f)(v) \). Como \( k[x] \) es un \( PID \) y \( V \) es un \( k[x] \)-módulo finitamente generado (si \( V \) es de dimensión finita), puedes aplicar el teorema de estructura y obtener una descomposición de \( V \) como suma directa de \( k[x] \)-módulos cíclicos. A partir de esta descomposición puedes recuperar toda la información sobre el endomorfismo: su polinomio característico, su polinomio mínimo, su forma de Jordan, etc.
Por otro lado, todavía tengo algunas dudas bastante elementales como las siguientes: 1-teniendo que las semejanzas no modifican los autovalores, ni el polinomio característico, tampoco modifican el polinomio mínimo?
No, no lo modifican. Es fácil de ver directamente: si \( p(x) \) es un polinomio tal que \( p(A)=0 \), y \( B=P^{-1}AP \), se tiene que \( p(B) = p(P^{-1}AP) = P^{-1}p(A)P = 0 \) (en el segundo paso se usa que \( (P^{-1}AP)^n = P^{-1}APP^{-1}AP \dots P^{-1}AP = P^{-1}A^nP \)), luego los polinomios anuladores de \( A \) y \( B \) son los mismos, luego el polinomio mínimo, que es el generador del ideal de los polinomios anuladores, también es el mismo.
2-con las congruencias se da el mismo caso, o las congruencias sí pueden modificarlos?
Las congruencias sí pueden modificarlos, porque ni los autovalores, ni el polinomio mínimo ni el característico son propiedades de las formas cuadráticas. Piensa que sobre \( \Bbb R \) cualquier matriz simétrica es congruente a una diagonal con \( 1, -1 \) y \( 0 \) en su diagonal. De ahí es claro que la congruencia no puede preservar autovalores.
3-dado que una matriz ortogonal \( A \) se define por \( A^{-1}=A^{t} \) me veo tentado de tratar de explicarme en qué consiste la relación entre las tres clases de cambios de bases (automorfismos)(?), pero todavía no alcanzo a entender este punto (si la factorización de módulos se apoyara mayoritariamente sobre la relacion de ortogonalidad, es decir, como suma directa de submódulos ortogonales (a partir de elementos coprimos, por ejemplo), tal vez la semejanza y la congruencia se podrían reexpresar a partir de ello; tal vez considerando la posibilidad de modificar los generadores de un ideal(?).
Añadido:Ante todo, no pierdas de vista las capas de estructura. La teoría de los endomorfismos, polinomios característicos/mínimos, autovalores, forma de Jordan, etc., vale en cualquier endomorfismo de un espacio vectorial. Para hablar de ortogonalidad necesitas un producto escalar, que es estructura extra en el espacio vectorial. Por tanto, en la descomposición de un módulo como suma de subespacios cíclicos, la ortogonalidad no entra.
Ahora, supongamos que tenemos un espacio vectorial con producto escalar, y que \( f \) es un endomorfismo autoadjunto, es decir, que cumple que \( \langle u, f(v) \rangle = \langle f(u), v \rangle \). Si tomas una base en la que la matriz de Gram del producto escalar (la que tiene por entradas \( i,j \) el producto escalar \( \langle e_i, e_j \rangle \)) es la identidad, entonces en esa base los endomorfismos autoadjuntos se corresponden con las matrices simétricas, es decir, las que cumplen \( A^t=A \).
Si tienes una matriz simétrica, puedes pensarla a la vez como una aplicación lineal (un endomorfismo) y como una forma cuadrática. En principio, si no hay producto escalar, esto no quiere decir nada especial, no hay ninguna conexión entre estas dos visiones. Esto se ve en la definición de similaridad/congruencia de matrices, ya que dos matrices similares no tienen por qué ser congruentes.
Si tenemos en cuenta el producto escalar, la cosa cambia. Ahora los cambios de base "naturales" son los que preservan el producto escalar, es decir, los que envían bases ortonormales a otras bases ortonormales. Esto se traduce en que las matrices de cambio de base a considerar ya no son todas las matrices invertibles, sino únicamente las matrices ortogonales, las que cumplen \( P^t=P^{-1} \). Si te restringes a matrices de cambio de base de este tipo, ahora las similaridades y las congruencias coinciden.
Por supuesto, esto no es ninguna casualidad. Lo que está pasando aquí a nivel abstracto es que el producto escalar te da una dualidad entre endomorfismos autoadjuntos y formas cuadráticas. Si \( f \) es un endomorfismo autoadjunto, entonces \( v \mapsto \langle v, f(v) \rangle \) es una forma cuadrática. Y viceversa, si tienes una forma cuadrática \( \phi \), entonces existe un endomorfismo autoadjunto (único) \( f \) tal que \( \phi(v) = \langle v, f(v) \rangle \). Esto es lo que explica que sea lo mismo diagonalizar (ortogonalmente) la forma cuadrática que el endomorfismo asociado.
Modificado.
