Si te dan la relación enumerando sus pares, como aquí; en principio no te queda más remedio que ir par a par comprobando las cosas. Lo que ocurre es que la mayoría de las veces las relaciones que usarás estarán definidas con una condición (p.ej. en los enteros \( (a,b)\in R \) si \( b \) es múltiplo de \( a \)) y eso simplifica las cosas.
Tengo que hacer por ejemplo la comprobación manual que hizo
manooooh?
b) \( R=\{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\} \) ¿Es simétrica?
\( \forall x,y\in A\;(x,y)\in R\to(y,x)\in R \)
Comprobación manual
\( x=1,\,y=1\to\underbrace{(1,1)\in R}_{F}\implies\underbrace{(1,1)\in R}_{F} \) Verdadero
\( x=1,\,y=2\to\underbrace{(1,2)\in R}_{V}\implies\underbrace{(2,1)\in R}_{V} \) Verdadero
\( x=1,\,y=3\to\underbrace{(1,3)\in R}_{V}\implies\underbrace{(3,1)\in R}_{V} \) Verdadero
\( x=1,\,y=4\to\underbrace{(1,4)\in R}_{F}\implies\underbrace{(4,1)\in R}_{F} \) Verdadero
\( x=2,\,y=1\to\underbrace{(2,1)\in R}_{V}\implies\underbrace{(1,2)\in R}_{V} \) Verdadero
\( x=2,\,y=2\to\underbrace{(2,2)\in R}_{F}\implies\underbrace{(2,2)\in R}_{F} \) Verdadero
\( x=2,\,y=3\to\underbrace{(2,3)\in R}_{F}\implies\underbrace{(3,2)\in R}_{F} \) Verdadero
\( x=2,\,y=4\to\underbrace{(2,4)\in R}_{F}\implies\underbrace{(4,2)\in R}_{F} \) Verdadero
\( x=3,\,y=1\to\underbrace{(3,1)\in R}_{V}\implies\underbrace{(1,3)\in R}_{V} \) Verdadero
\( x=3,\,y=2\to\underbrace{(3,2)\in R}_{F}\implies\underbrace{(2,3)\in R}_{F} \) Verdadero
\( x=3,\,y=3\to\underbrace{(3,3)\in R}_{F}\implies\underbrace{(3,3)\in R}_{F} \) Verdadero
\( x=3,\,y=4\to\underbrace{(3,4)\in R}_{F}\implies\underbrace{(4,3)\in R}_{F} \) Verdadero
\( x=4,\,y=1\to\underbrace{(4,1)\in R}_{F}\implies\underbrace{(1,4)\in R}_{F} \) Verdadero
\( x=4,\,y=2\to\underbrace{(4,2)\in R}_{F}\implies\underbrace{(2,4)\in R}_{F} \) Verdadero
\( x=4,\,y=3\to\underbrace{(4,3)\in R}_{F}\implies\underbrace{(3,4)\in R}_{F} \) Verdadero
\( x=4,\,y=4\to\underbrace{(4,4)\in R}_{F}\implies\underbrace{(4,4)\in R}_{F} \) Verdadero
Luego \( R \) es simétrica.
Porque yo lo que hago, es ver la relación, no el conjunto A, ahi
manooooh uso cada elemento del conjunto A, por ejemplo ningún par con el 4 estaba en la relación pero si en el conjunto A, lo que hago es ver, por ejemplo si tengo (1,2) ver si esta (2,1) pero al hacer la comprobación como
manooooh el comprobó por ejemplo (4,1) y (1,4) y eso que nunca estos pares estuvieron en la relación.
Una relación es cualquier subconjunto del producto \( A\times A \). El vacío es un subconjunto de \( A\times A \) así que es una relación. Es muy fácil que compruebes las propiedades que cumplen:
- ¿Todo par \( (a,a) \) con \( a\in A \) pertenece a la relación? No, porque de hecho no tiene ningún par. NO es reflexiva.
- ¿Si \( (a,b)\in \emptyset \) entonces \( (b,a)\in \emptyset \)? Si, porque como el antecedente nunca se cumple, la implicación siempre es cierta. Si, es simétrica.
Continúa...
Primero que nada, nunca estudie lógica, es mas lo poco que se lo vi en filosofia
.
Seria algo asi?
\( \underbrace{(a,b)\in \emptyset}_{F}\implies\underbrace{(b,a)\in \emptyset}_{F} \) Verdadero
Tambien tengo un problema con la relación antisimétrica
\( \underbrace{(a,b)\in \emptyset ∧ (b,a)\in \emptyset}_{F}\implies\underbrace{a=b}_{} \) Aca no se si a=b es falso o no, me parece medio extraño al no tener pares
Hasta ahora diría que es irreflexiva,simétrica y transitiva
