Hola
Sea $$E \subset \mathbb{R}^2$$ consideremos la siguiente aplicación $$\|.\|=\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}$$ donde $$a, b \in \mathbb{R}^2$$ bajo qué condiciones $$(E,\|.\|)$$ es o no es un espacio normado? en caso afirmativo, en condiciones que hacen que sea un espacio normado, demostrar que es una norma en $$\mathbb{R}^2$$, en caso contrario dar un contraejemplo que no cumple algún axioma de norma.
Disculpen podrian darme un contra ejemplo ?
Tengo ciertas dudas de si el enunciado está bien.
Para que la aplicación esté definida hace falta obviamente que \( a,b\neq 0 \). Sobre \( \Bbb R^2 \) corresonde a:
\( \|(x,y)\|=\|f(x,y)\|_2 \)
donde \( f:\Bbb R^2\to \Bbb R^2, f(x,y)=(x/a,y/b) \) es un isomorfismo de espacios vectoriales y \( \|\cdot \|_2 \) es la norma \( 2 \) clásica. Es muy fácil ver entonces que \( \|\cdot \| \) es también una norma.
Hay un detalle adicional y es que el ejercicio te dice que la define sobre un subconjunto \( E \); para que tenga sentido hablar de norma necesariamente \( E \) tiene que ser un subespacio vectorial.
Entonces los únicos casos en los que no es norma son:
- Si \( ab=0 \). Pero simplemente porque en ese caso la aplicación no está bien definido.
- Si \( E \) NO es subespacio vectorial. Pero porque en ese caso NO tiene sentido hablar de norma, ya que está se define en espacios vectoriales.
Saludos.
