[Delvalle]

Suponiendo que \( g \) es una función medible Lebesgue sobre \( [0,1] \), \( a,b \in \mathbb {R} \), tales que la función \( f \ (x,y) = ag (x) - bg(y) \) es integrable Lebesgue sobre \( [0,1]\times  [0,1] \). Demostrar que \( g \) es integrable sobre \( [0,1] \)

[Masacroso]

Suponiendo que \( g \) es una función medible Lebesgue sobre \( [0,1] \), \( a,b \in \mathbb {R} \), tales que la función \( f \ (x,y) = ag (x) - bg(y) \) es integrable Lebesgue sobre \( [0,1]\times  [0,1] \). Demostrar que \( g \) es integrable sobre \( [0,1] \)

Utiliza el teorema de Fubini.

[Delvalle]

Compañero Masacroso gracias por la recomendación, lo he realizado así, espero esté bien, de lo contrario agradezco tu ayuda para corregirlo.
Entonces primero se define:
\( h: [0,1]\times [0,1]\rightarrow \mathbb{R},  \,  h(x,y)= \cases{\frac{f(y)}{y} \,\ , \text{si}\,\, y>x\\ 0 \,\, \text{de lo contrario}}.
 \)
Entonces \( \int\limits_{[0,1]} g \, d\lambda = \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{x}^{1} \frac{f(y)} {y} \, dy \, dx = \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1} h(x,y) \, dy \, dx  \), que por el teorema de Fubini es:

\( \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1} h(x,y) \, dx \, dy = \int\limits_{0}^{1} \int\ límites_{0}^{y} \frac{f(y)}{y} \, dx \, dy = \int \limits_{0}^{1} y\cdot \frac{f(y)}{y } \, dy = \int \limits_{0}^{1} f(y) \, dy = \int \limits_{[0,1]} f \, d\lambda. \)

[Masacroso]

Compañero Masacroso gracias por la recomendación, lo he realizado así, espero esté bien, de lo contrario agradezco tu ayuda para corregirlo.
Entonces primero se define:
\( h: [0,1]\times [0,1]\rightarrow \mathbb{R},  \,  h(x,y)= \cases{\frac{f(y)}{y} \,\ , \text{si}\,\, y>x\\ 0 \,\, \text{de lo contrario}}.
 \)
Entonces \( \int\limits_{[0,1]} g \, d\lambda = \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{x}^{1} \frac{f(y)} {y} \, dy \, dx = \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1} h(x,y) \, dy \, dx  \), que por el teorema de Fubini es:

\( \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1} h(x,y) \, dx \, dy = \int\limits_{0}^{1} \int\ límites_{0}^{y} \frac{f(y)}{y} \, dx \, dy = \int \limits_{0}^{1} y\cdot \frac{f(y)}{y } \, dy = \int \limits_{0}^{1} f(y) \, dy = \int \limits_{[0,1]} f \, d\lambda. \)

No entiendo lo que has hecho y no le veo mucho sentido ya que, por ejemplo, no sabes si la función \( h \) es integrable para plantear la primera identidad, es decir, no puedes partir de la integral de \( h \) porque no sabes si existe.

Para resolver el ejercicio es suficiente con aplicar el teorema de Fubini a \( f \):

\( \displaystyle{
\int_{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,d (x,y)=\int_{[0,1]}\int_{[0,1]}f(x,y)\,d x\,d y=\int_{[0,1]}\left(\int_{[0,1]}f(x,y)\,d x\right)\,d y
} \)

Ahora bien, el teorema de Fubini nos asegura que la función \( y\mapsto  \int_{[0,1]}f(x,y)\,d x \) es Lebesgue-medible, finita en casi todo punto e integrable en \( [0,1] \), en particular nos asegura que la función \( x\mapsto f(x,y) \) es integrable para casi todo \( y \). Ahora bien, como dado un \( y \) fijo la expresión \( K:=bg(y) \) es una constante finita (para casi todo \( y \)) entonces necesariamente tienes que  \( g \) es integrable, ya que \( |ag(x)|\leqslant |ag(x)-K|+|K| \) para cualquier constante \( K\in \mathbb{R} \) y por el teorema de convergencia dominada \( g \) es integrable.∎

Añadido: no me he percatado al inicio pero, evidentemente, hay que asumir que o bien \( a \) o bien \( b \) es distinto de cero, de otro modo \( f\equiv 0 \), lo cual no nos dice nada de la integrabilidad de \( g \).