[Taniadiaz]

Chicos alguien me puede decir si el teorema de convergencia acotada es el mismo de convergencia dominada.

Convergencia dominada
 Sea\(  {f_p}  \)una sucesion de funciones medibles sobre \( E \) que converge puntualmente a la funcion \( f \) y supongamos que existe una función \( F \) integrable sobre \( E \) tal que \( |f_p| ≤ F  \)para todo \( p \), entonces:

 (a) \( f \) es integrable sobre \( E.  \)

B)\(  \displaystyle\int_ E f = lím \int _E f_p  \)

[Masacroso]

Chicos alguien me puede decir si el teorema de convergencia acotada es el mismo de convergencia dominada.

Convergencia dominada
 Sea\(  {f_p}  \)una sucesion de funciones medibles sobre \( E \) que converge puntualmente a la funcion \( f \) y supongamos que existe una función \( F \) integrable sobre \( E \) tal que \( |f_p| ≤ F  \)para todo \( p \), entonces:

 (a) \( f \) es integrable sobre \( E.  \)

B)\(  \displaystyle\int_ E f = lím \int _E f_p  \)

No son lo mismo. El teorema de convergencia acotada es un corolario del teorema de convergencia dominada que se deduce al tomar una función constante \( K>0 \) en un espacio con una medida finita tal que \( |f_n|\leqslant K \) para todo \( n \).

[Taniadiaz]

Masacroso ¿dónde puedo conseguir el enunciado de este Teorema y su demostracion?, nos mandaron a investigar sobre el tema, ya que lo trataremos en clases.

[Masacroso]

Masacroso ¿dónde puedo conseguir el enunciado de este Teorema y su demostracion?, nos mandaron a investigar sobre el tema, ya que lo trataremos en clases.

¿Te refieres al teorema de convergencia acotada? La demostración es inmediata. Como dije es un corolario del teorema de convergencia dominada, es decir, la demostración es simplemente aplicar el teorema de convergencia dominada para el caso especial en el que la función dominante es constante y la medida finita (lo que quiere decir que la función constante es integrable).

El enunciado del teorema de convergencia acotada es el siguiente: sea \( (\Omega ,\mathcal{F}, \mu) \) un espacio de medida finita y para todo \( n \) sea \( f_n:\Omega \to \mathbb{R} \) una función medible tal que \( f_n\to f \) casi en todas partes y \( |f_n|\leqslant K \) casi seguro para todo \( n \), para algún \( K>0 \). Entonces \( f\in L_1(\mu) \) y \( f_n \to f \) en \( L_1(\mu) \).

[Taniadiaz]

¿Me puedes ayudar a demostrarlo?
Por favor

[Taniadiaz]

Demostración del Teorema de la Convergencia Acotada:

Si \( m(E)=0 \), entonces
\(  \int_E f_n=0\to0=\int_E f \), supongamos que \( m(E)>0 \).

Sea \( \epsilon>0 \). Dado que \( \{f_n \}_n \) está uniformemente acotado por \( M \) y \( f_n \to f  \)puntualmente, \( \forall{} x \in E, \exists N': |f(x)| \leq |f_{N '}(x)|+1 \leq M+1 \), de modo que
 \( f \) está acotado y, en consecuencia, \( \{|f_n-f|\}_n \) está uniformemente acotado por \( 2M+1 \).

Por el teorema de Egorov, \( \exists F\in\tau^c: F\subseteq E, m(E-F)<\dfrac{\epsilon}{2(2M+1)} \) y \( f_n\stackrel{u.}{ \to} f  \)en \( F \). Además, dado que \( f_n\stackrel{u.}{\to} f \) en \( F \) tenemos que \( \exists N,\forall n\geq N,\forall x\in F: |f_n(x)-f (x)|<\dfrac{\epsilon}{2m(E)} \). Entonces para
\( n\geq N \) tenemos

\begin{align}
0&\leq\left|\int_E f_n-\int_E f\right| \leq\int_E|f_n-f|\\
&= \int_F |f_n-f| + \int_{E-F} |f_n-f| \\
&< \int_F \dfrac{\epsilon}{2m(E)} + \int_{E-F} (2M+1) \\
&=\dfrac{\epsilon}{2m(E)}m(F)+ (2M+1)m(E-F) \\
&<\dfrac{\epsilon}{2}+(2M+1)\dfrac{\epsilon}{2(2M+1)}=\epsilon.\checkmark
\end{align}

Está correcto chicos?

[Masacroso]

Demostración del Teorema de la Convergencia Acotada:

Si \( m(E)=0 \), entonces
\(  \int_E f_n=0\to0=\int_E f \), supongamos que \( m(E)>0 \).

Sea \( \epsilon>0 \). Dado que \( \{f_n \}_n \) está uniformemente acotado por \( M \) y \( f_n \to f  \)puntualmente, \( \forall{} x \in E, \exists N': |f(x)| \leq |f_{N '}(x)|+1 \leq M+1 \), de modo que
 \( f \) está acotado y, en consecuencia, \( \{|f_n-f|\}_n \) está uniformemente acotado por \( 2M+1 \).

Corrección: originalmente había leído mal esta primera parte de tu demostración y creía que estaba errónea, pero no, está todo bien.

Y más sencillo aún: como para cada \( x \) se tiene que \( |f_n(x)|\leqslant M \) entonces \( \lim_{n\to\infty}|f_n(x)|=|f(x)|\leqslant M \).

Por el teorema de Egorov, \( \exists F\in\tau^c: F\subseteq E, m(E-F)<\dfrac{\epsilon}{2(2M+1)} \) y \( f_n\stackrel{u.}{ \to} f  \)en \( F \). Además, dado que \( f_n\stackrel{u.}{\to} f \) en \( F \) tenemos que \( \exists N,\forall n\geq N,\forall x\in F: |f_n(x)-f (x)|<\dfrac{\epsilon}{2m(E)} \). Entonces para
\( n\geq N \) tenemos

\begin{align}
0&\leq\left|\int_E f_n-\int_E f\right| \leq\int_E|f_n-f|\\
&= \int_F |f_n-f| + \int_{E-F} |f_n-f| \\
&< \int_F \dfrac{\epsilon}{2m(E)} + \int_{E-F} (2M+1) \\
&=\dfrac{\epsilon}{2m(E)}m(F)+ (2M+1)m(E-F) \\
&<\dfrac{\epsilon}{2}+(2M+1)\dfrac{\epsilon}{2(2M+1)}=\epsilon.\checkmark
\end{align}

Está correcto chicos?

Correcto.


Nota: no sabía que querías demostrar el teorema de convergencia acotada sin recurrir al teorema de convergencia dominada, por eso no estaba entendiendo nada de lo que antes me decías que te ayudase a "demostrarlo", ya que entendía que lo querías demostrar utilizando el teorema de convergencia dominada, pero tal demostración no es necesaria ya que el teorema de convergencia acotada es un caso particular del teorema de convergencia dominada.

[Taniadiaz]

Muchas gracias Masacroso, trataré de ser más precisa al momento de plantear mis dudas

[Masacroso]

Muchas gracias Masacroso, trataré de ser más precisa al momento de plantear mis dudas

No, la culpa es mía. Espero no haberte generado mucha confusión.

[Delvalle]

Estamos Estudiando este teorema  en clases, lo mandaron de tarea y lo tomé de aquí de este foro. El profesor dice que este Teorema está incompleto compañeros, que falta el paso del límite en las integrales, si esto es cierto, ¿cómo queda el enunciado? ¿alguna manera de demostrarlo diferente a esta? ¿puedes hacerlo por favor? disculpa tantas interrogantes, es que ya me he confundido.
El enunciado del teorema de convergencia acotada es el siguiente: sea

\( (\Omega ,\mathcal{F}, \mu) \) un espacio de medida finita y para todo \( n \) sea \( f_n:\Omega \to \mathbb{R} \) una función medible tal que \( f_n\to f \) casi en todas partes y \( |f_n|\leqslant K \) casi seguro para todo \( n \), para algún \( K>0 \). Entonces \( f\in L_1(\mu) \) y \( f_n \to f \) en \( L_1(\mu) \).