Hola que tal disculpen que debo probar en este problema ¿ Que debo tomar para demostrar que es espacio metrico que elementos de ese conjunto utilizo ?
Sea el conjunto $$H=\left(\left(E_1 \times E_2\right), \rho\right)$$ donde $$\left(E_i, \rho_j\right)$$ son espacios métricos $$\mathrm{y} \rho(x, y)=\max \left\{\left(\rho_1, \mathrm{x}_1\right),\left(\rho_2, \mathrm{x}_2\right)\right\}$$. Demuestre que $$\mathrm{H}$$ es un espacio métrico.
El ejercicio no está bien definido, ya que las expresiones \( (\rho _j,x_j) \) para \( j\in\{1,2\} \) no tienen sentido. Revisa el enunciado.
Lo que seguramente quiera decir es que se define \( \rho (x,y):=\max\{\rho _1(x_1,y_1),\rho _2(x_2,y_2)\} \) para \( x=(x,y) \) e \( y=(y_1,y_2) \). Entonces debes verificar que \( \rho \) es una función distancia, es decir que cumple las propiedades que definen a toda función distancia, que son:
\( \displaystyle{
\begin{align*}
&1)\, \rho (x,y)=\rho (y,x)\geqslant 0\quad \text{ para todo }x,y\in H\\
& 2)\, \rho (x,y)=0\iff x=y\quad \text{ para todo }x,y\in H\\
& 3)\, \rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y)\quad \text{ para todo }x,y,z\in H
\end{align*}
} \)
Para demostrar eso necesitarás utilizar la definición de \( \rho \) y tener en cuenta que tanto \( \rho _1 \) como \( \rho _2 \) son funciones distancia (y por tanto cumplen las propiedades antes mencionadas).
