[MigueelstDFD]

Hola
Tengo alguna dificultad para demostrar esto:
"Probar que, si \( H \) es un espacio preHilbert, entonces ningún subespacio propio de \( H \) es abierto. Probar que, de hecho, todo subespacio propio de \( H \) tiene interior vacío."
Si alguien puede darme una pista, se lo agradecería.
Muchas gracias por su tiempo.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola
Tengo alguna dificultad para demostrar esto:
"Probar que, si \( H \) es un espacio preHilbert, entonces ningún subespacio propio de \( H \) es abierto. Probar que, de hecho, todo subespacio propio de \( H \) tiene interior vacío."
Si alguien puede darme una pista, se lo agradecería.
Muchas gracias por su tiempo.

Dado un subespacio propio \( U\subsetneq H \), existe \( x\in H \) tal que \( x\not\in U \). Entonces para cualquier \( u\in U \) y cualquier \( r>0 \) comprueba que \( u+\dfrac{rx}{2\|x\|}\in B(u,r) \) pero \( u+\dfrac{rx}{2\|x\|}\not\in U \).

Saludos.