Hola a todos. Tengo que hallar la expresión analítica de la gráfica de una función que cumpla las siguientes características:
a) Dominio \( [-5;8) \)
b)Imagen \( [-8;6] \)
c) \( f(2)=4 \)
d) Que la preimagen de 4 sean 0 y 2
e) Que tenga como raíces a -2 y a 3
f) Ordenada al origen \( y=4 \)
g) Máximo en \( x=1 \)
h) Mínimo en \( x= 5 \)
i) Intervalo de Crecimiento \( (-5;1) \) \( \cup{(5;8)} \)
j) Intervalo de Decrecimiento \( (1;5) \)
Entiendo que si uniera con segmentos todos los puntos obtenidos a partir de los datos que me dan podría obtener la gráfica a trazos y su expresión sería simplemente una función a trozos donde cada una de las funciones que la componen serían las funciones afines que incluyen a cada tramo de segmento. Pero la idea es tratar de ver si es posible encontrar una función polinómica que cumpla todas las características, ya que al dibujar los puntos en Geogebra ciertamente me da la sensación de que es posible encontrar algún polinomio de cierto grado cuya gráfica cumpla esas características. Pero la idea es saber qué grado tendría ese polinomio. He intentado probar considerando las gráficas de polínomios de grado 3 hasta el 7, planteando los sistemas de ecuaciones que me quedan a partir de los datos que me dan. Pero sucede que, o bien el sistema directamente me queda incompatible, o al final no se termina obteniendo un polinomio que cumpla todas las características que ahí se plantean.
De momento entiendo que para el valor \( x=-5 \) deberíamos darle algún valor negativo para que desde ahí vaya creciendo la gráfica, por ejemplo consideré que \( f(-5)=-4 \) y para el caso de 8, que si bien no está en el dominio de la función igualmente supuse \( f(8)=0 \) para que me cuadren las condiciones y luego no considerar ese punto de la gráfica.
Me quedarían las siguientes condiciones:
1)\( f(-5)=-4 \)
2)\( f(-2)=0 \)
3)\( f(2)=4 \)
4)\( f(1)=6 \)
5)\( f(3)=0 \)
6) \( f(5)=-8 \)
7) \( f(8)=0 \)
8) \( f(0)=4 \) (Descarto esta última porque entiendo que esto solo significa que el término independiente de todos los polinomios candidatos debe valer 4)
Pues a partir de ello fui intentando considerar de grado 3 pero resulta que no se cumplen todas las condiciones o resulta ser que me quedan mas ecuaciones que incógnitas y mi aplicación mi dice que el sistema es incompatible.
Por tanto, pensé que si hay 7 condiciones a cumplirse, entonces me vendría bien a considerar un polinomio de séptimo grado, ya que ahí me queda 7 incógnitas con 7 ecuaciones. Pero nuevamente el sistema me resulta incompatible.
¿Alguna idea para guiarse?
Adjunto una imagen con lo que entiendo podría quedar la gráfica del polinomio.
