[Jozy]

Sea $$\chi$$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre$$F$$. Sea $$\left\{e_1, e_2, e_3 \ldots \ldots e_n\right\}$$ una base para $$\chi$$. cualquier $$x \in X$$ se puede escribir como $$x=\lambda_1 e_1+\lambda_2 e_2+\lambda_3 e_3+\ldots+\lambda_n e_n=\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i$$ para los $$\lambda_j$$ (únicos).Pruebe que la función $$\|\cdot\|: x \mapsto \mathbb{R}$$ es decir que va $$\underset{x \rightarrow\|x\|}{\mathbb{}}$$
  y $$\|x\|=\left(\sum_{j=1}^n\left|\lambda_j\right|\right)^{\frac{1}{2}}$$ es una norma.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea $$\chi$$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre$$F$$. Sea $$\left\{e_1, e_2, e_3 \ldots \ldots e_n\right\}$$ una base para $$\chi$$. cualquier $$x \in X$$ se puede escribir como $$x=\lambda_1 e_1+\lambda_2 e_2+\lambda_3 e_3+\ldots+\lambda_n e_n=\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i$$ para los $$\lambda_j$$ (únicos).Pruebe que la función $$\|\cdot\|: x \mapsto \mathbb{R}$$ es decir que va $$\underset{x \rightarrow\|x\|}{\mathbb{}}$$
  y $$\|x\|=\left(\sum_{j=1}^n\left|\lambda_j\right|\right)^{\frac{1}{2}}$$ es una norma.

Debería de ser:

$$\|x\|=\left(\sum_{j=1}^n\left|\lambda_j\right|^{\color{red}2\color{black}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

ya que tal como está no cumple que \( \|t\cdot x\|=|t|\|x\|. \)

Con esta corrección es bastante inmediato. Esencialmente es la normal euclídea. ¿Qué has intentado? ¿qué dificultades encuentras?.

Saludos.

[Fernando Revilla]

   Como comenta Luis y dado el isomorfismo entre \( \chi \) y \( K^n \) fijada una base, la norma dada es esencialmente la norma euclídea \( \left\|{\;}\right\|_2 \) en \( F^n \) (\( F=\mathbb R \) o \( F=\mathbb{C} \)).

Mira el ejercicio 6 de https://fernandorevilla.es/2014/10/08/norma-espacio-normado/.