[marinavzqz]

Buenas,
necesito ayuda con este problema:
 Sea $$f, g \in k\left[X_1, \ldots, X_a, Y_1, \ldots, Y_b, Z\right]$$,
$$
f=\prod_{i=1}^a\left(Z-X_i\right), \quad g=\prod_{j=1}^b\left(Z-Y_j\right)
$$
y $$r=\operatorname{res}_Z(f, g) \in k\left[X_1, \ldots, X_a, Y_1, \ldots, Y_b\right]$$
Si \(x=\left(x_1, \ldots, x_a\right) \in k^a\) y \(\left(y_1, \ldots, y_b\right) \in k^b, \operatorname{definimos} f_x, g_y \in k[Z]\),
$$
f_x(Z)=f\left(x_1, \ldots, x_a, Z\right), \quad g_y(Z)=g\left(y_1, \ldots, y_b, Z\right) .
$$
(a) Demonstrar: \(r(x, y)=\operatorname{res}\left(f_x, f_y\right)\).
(b) Demonstrar: si hay \(i\) y \(j\) tal que \(x_i=y_j\), entonces \(r(x, y)=0\).
(c) Concluir, usando el teorema 1:
$$
r(X, Y)=\prod_{\substack{i=1, \ldots, a \\ j=1, \ldots, b}}\left(Y_i-X_j\right) .
$$
(Indicación: cuál es el monomio en grado máximo en los $X_i$ ? Cuál es su coeficiente?)

Teorema 1. Suponemos que \( k \) es algebraicamente cerrado. Si \(p, q \in k\left[X_1, \ldots, X_n\right]\), entonces \(p \mid q\) si y solo si para cada \(\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in k^n\),
$$
p\left(x_1, \ldots, x_n\right)=0 \quad \Rightarrow \quad q\left(x_1, \ldots, x_n\right)=0 .
$$
1

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿Qué definición de resultante manejas?.

Saludos.

[marinavzqz]

Dado un dominio de factorización única \(A\), se llama resultante de los polinomios \(f=a_0+a_1 X+\ldots+a_n X^n\left(\operatorname{con} a_n \neq 0\right)\) y \(g=b_0+b_1 X+\ldots+b_m X^m\left(\operatorname{con} b_m \neq 0\right)\) de \(A[X]\) al elemento
$$
\left.\operatorname{res}(f, g)=\left|\begin{array}{cccccccc}
a_0 & a_1 & \ldots & a_n & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & a_0 & \ldots & a_{n-1} & a_n & 0 & \ldots & 0 \\
& & \ddots & & & & & \\
0 & \ldots & 0 & a_0 & a_1 & \ldots & a_{n-1} & a_n \\
b_0 & b_1 & \ldots & b_{m-1} & b_m & 0 & \ldots & 0 \\
0 & b_0 & \ldots & b_{m-2} & b_{m-1} & b_m & 0 \ldots & 0 \\
& & \ddots & & & & \ddots & \\
0 & \ldots & 0 & b_0 & b_1 & \ldots & b_{m-1} & b_m
\end{array}\right|\right\} m \text { filas }
$$

y
 \(r(X):=\operatorname{res}_Y(f, g)\) tiene la forma
$$
r(X)=\left|\begin{array}{cccccccc}
f_0(X) & f_1(X) & \cdots & f_d(X) & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & f_0(X) & \cdots & f_{d-1}(X) & f_d(X) & 0 & \ldots & 0 \\
& & \ddots & & & & & \\
0 & \ldots & 0 & f_0(X) & f_1(X) & \ldots & f_{d-1}(X) & f_d(X) \\
g_0(X) & g_1(X) & \ldots & g_{e-1}(X) & g_e(X) & 0 & \ldots & 0 \\
0 & g_0(X) & \cdots & g_{e-2} & g_{e-1}(X) & g_e(X) & 0 \ldots & 0 \\
& & \ddots & & & & \ddots & \\
0 & \cdots & 0 & g_0(X) & g_1(X) & \cdots & g_{e-1}(X) & g_e(X)
\end{array}\right|
$$

[Luis Fuentes]

Hola

(a) Demonstrar: \(r(x, y)=\operatorname{res}\left(f_x, f_y\right)\).

¿Pero ahí como te han definido \( r(x,y) \)?. Las definiciones que has dado son para polinomios, en función de los coeficientes. Ahí \( x,y \) son dos vectores.

Saludos.

[marinavzqz]

En las tres últimas líneas del enunciado, antes de que empiecen los apartados, ¿no?

[Luis Fuentes]

Hola

En las tres últimas líneas del enunciado, antes de que empiecen los apartados, ¿no?

No lo veo. Me refiero, ¿qué es?:

\( r(x,y)=r((x_1,x_2,\ldots,x_n),(y_1,y_2,\ldots,y_n))= \) ?

Saludos.

[marinavzqz]

 No lo sé. Igual es esto, es que no tengo definido eso en ningún sitio
$$f(X, Y):=\operatorname{res}_T(p(T)-X, q(T)-Y)$$, entonces $$f(a, b)=\operatorname{res}(p(T)-a, q(T)-b)$$ para todo \((a, b) \in \mathbb{A}_k^2\)

[Luis Fuentes]

Hola

 No. Ya lo entendí. En realidad:

\(  r=res_Z(f,g) \)

 y entonceS:

\( r(x,y)=res_Z(f,g)(x,y) \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Tenemos que:

\(  f(X_1,X_2,\ldots,X_a,Z)=f_0(X_1,X_2,\ldots,X_a)+f_1(X_1,X_2,\ldots,X_a)Z+\ldots+f_a(X_1,X_2,\ldots,X_a)Z^a \)

\(  g(Y_1,Y_2,\ldots,Y_b,Z)=g_0(Y_1,Y_2,\ldots,Y_b)+g_1(Y_1,Y_2,\ldots,Y_b)Z+\ldots+g_b(Y_1,Y_2,\ldots,Y_b)Z^b \)

 Por definición:

\( r=res_z(f,g)= \)
\( =\left|\begin{array}{cccccccc} f_0(X_1,X_2,\ldots,X_a) & f_1(X_1,X_2,\ldots,X_a) & \cdots & f_a(X_1,X_2,\ldots,X_a) & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & f_0(X_1,X_2,\ldots,X_a) & \cdots & f_{d-1}(X_1,X_2,\ldots,X_a) & f_d(X_1,X_2,\ldots,X_a) & 0 & \ldots & 0 \\ & & \ddots & & & & & \\ 0 & \ldots & 0 & f_0(X_1,X_2,\ldots,X_a) & f_1(X_1,X_2,\ldots,X_a) & \ldots & f_{a-1}(X_1,X_2,\ldots,X_a) & f_d(X_1,X_2,\ldots,X_a) \\ g_0(Y_1,Y_2,\ldots,Y_b) & g_1(Y_1,Y_2,\ldots,Y_b) & \ldots & g_{b-1}(Y_1,Y_2,\ldots,Y_b) & g_b(Y_1,Y_2,\ldots,Y_b) & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & g_0(Y_1,Y_2,\ldots,Y_b) & \cdots & g_{b-2}(Y_1,Y_2,\ldots,Y_b) & g_{b-1}(Y_1,Y_2,\ldots,Y_b) & g_d(Y_1,Y_2,\ldots,Y_b) & 0 \ldots & 0 \\ & & \ddots & & & & \ddots & \\ 0 & \cdots & 0 & g_0(Y_1,Y_2,\ldots,Y_b) & g_1(Y_1,Y_2,\ldots,Y_b) & \cdots & g_{b-1}(Y_1,Y_2,\ldots,Y_b) & g_b(Y_1,Y_2,\ldots,Y_b) \end{array}\right| \)

 Y por tanto:

\( r(x,y)=res_z(f,g)((x_1,\ldots,x_a),(y_1,\ldots,y_a)= \)
\( =\left|\begin{array}{cccccccc} f_0(x_1,x_2,\ldots,x_a) & f_1(x_1,x_2,\ldots,x_a) & \cdots & f_a(x_1,x_2,\ldots,x_a & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & f_0(X_1,X_2,\ldots,X_a) & \cdots & f_{d-1}(x_1,x_2,\ldots,x_a) & f_d(x_1,x_2,\ldots,x_a) & 0 & \ldots & 0 \\ & & \ddots & & & & & \\ 0 & \ldots & 0 & f_0(x_1,x_2,\ldots,x_a) & f_1(x_1,x_2,\ldots,x_a) & \ldots & f_{a-1}(x_1,x_2,\ldots,x_a) & f_d(x_1,x_2,\ldots,x_a) \\ g_0(y_1,y_2,\ldots,y_b) & g_1(y_1,y_2,\ldots,y_b) & \ldots & g_{b-1}(y_1,y_2,\ldots,y_b) & g_b(y_1,y_2,\ldots,y_b) & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & g_0(y_1,y_2,\ldots,y_b) & \cdots & g_{b-2}(y_1,y_2,\ldots,y_b) & g_{b-1}(y_1,y_2,\ldots,y_b) & g_d(y_1,y_2,\ldots,y_b) & 0 \ldots & 0 \\ & & \ddots & & & & \ddots & \\ 0 & \cdots & 0 & g_0(y_1,y_2,\ldots,y_b) & g_1(y_1,y_2,\ldots,y_b) & \cdots & g_{b-1}(y_1,y_2,\ldots,y_b) & g_b(y_1,y_2,\ldots,y_b) \end{array}\right| \)  (*)

 Pero por otra parte como:

\(  f_X(Z)=f(x_1,x_2,\ldots,x_a,Z)=f_0(x_1,x_2,\ldots,x_a)+f_1(x_1,x_2,\ldots,x_a)Z+\ldots+f_a(x_1,x_2,\ldots,x_a)Z^a \)

\(  g_Y(Z)=g(y_1,y_2,\ldots,y_b,Z)=g_0(y_1,y_2,\ldots,y_b)+g_1(y_1,y_2,\ldots,y_b)Z+\ldots+g_b(y_1,y_2,\ldots,y_b)Z^b \)

 Por definición también \( res(f_x,f_y)=(*)=r(x,y) \) y se tiene la igualdad pedida.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

(b) Demonstrar: si hay \(i\) y \(j\) tal que \(x_i=y_j\), entonces \(r(x, y)=0\).

En ese caso \( x_i=y_j \) sería un cero común de los polinomios \( f_x(Z) \) y \( g_y(Z) \) y por tanto \( r(x,y)=res_Z(f_x,f_y)=0 \).

(c) Concluir, usando el teorema 1:
$$
r(X, Y)=\prod_{\substack{i=1, \ldots, a \\ j=1, \ldots, b}}\left(Y_i-X_j\right) .
$$
(Indicación: cuál es el monomio en grado máximo en los $X_i$ ? Cuál es su coeficiente?)

Teorema 1. Suponemos que \( k \) es algebraicamente cerrado. Si \(p, q \in k\left[X_1, \ldots, X_n\right]\), entonces \(p \mid q\) si y solo si para cada \(\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in k^n\),
$$
p\left(x_1, \ldots, x_n\right)=0 \quad \Rightarrow \quad q\left(x_1, \ldots, x_n\right)=0 .
$$
1

Usa el teorema 1 para los polinomios \( q(X_1,\ldots,X_a,Y_1,\ldots,Y_b)=Y_i-X_j \) y \( p(X_1,\ldots,X_a,Y_1,\ldots,Y_b)=r(X,Y) \), junto con el apartado (b).

Saludos.