Hola
\(
\begin{cases}a_n=-a_{n-1}-b_n\\ b_{n+1}=b_n-3a_{n-1}\end{cases}
\)
con \( a_{0}=0, b_{0}=2, b_{1}=1 \)
Había visto por Internet que había un método con F.G pero (creo) que no es el caso para este ejercicio.
Y otra pregunta, ¿es posible manipular los subíndices? ¿cómo?
Yo lo que haría sería tratarlo como si fuese un sistema de ecuaciones "normales". Primero despejamos \( a_n \) o \( b_n \) en una de las dos ecuaciones:
\( a_n=-a_{n-1}-b_n\implies b_n=-a_{n-1}-a_n \) (1)
Reemplazamos (1) en la segunda ecuación, para eso notemos que (y de ahí viene la respuesta a tu segunda pregunta) tenemos por lo tanto \( b_{n+1}=-a_n-a_{n+1} \):
\( -a_n-a_{n+1}=-a_{n-1}-a_n-3a_{n-1}\implies-a_{n+1}+4a_{n-1}=0\implies-x^2+4=0\implies x=\pm2, \)
por lo tanto \( \boxed{a_n=A\cdot2^n+B(-2)^n} \) con \( A,B\in\Bbb{R} \). (2)
Reemplazando (2) en (1) obtenemos la expresión no recursiva de \( b_n \):
\[ b_n=-(A\cdot2^{n-1}+B(-2)^{n-1})-(A\cdot2^n+B(-2)^n)=-\frac A2\cdot2^n+\frac B2(-2)^n-A\cdot2^n-B(-2)^n\implies\boxed{b_n=-\frac32A\cdot2^n-\frac12B(-2)^n}. \]
Pero tengo mis dudas de que esto esté bien:
1) Solo nos dan un dato inicial para \( a_n \) pero vimos que por (2) es de segundo orden;
2) Si en vez de despejar \( b_n \), despejase \( a_n \) de la segunda ecuación tendría que \( b_n \) tiene soluciones complejas, que es completamente distinto a lo que se halló en el primer método. ¿Entonces no da igual despejar primero \( a_n \) o \( b_n \)? ¿Por qué?
Si alguien puede echarme una mano con estas dudas, estaría agradecido.
Saludos
