[danonqn]

Buenas tardes, espero que se encuentren bien.
Hace bastante tiempo que no paso por acá, la verdad que en su momento abandone mis estudios y ahora estoy volviendo a retomar. Y justo que ahora tengo una inquietud me acorde que existía esta comunidad!

Tengo un sistema de ecuaciones de congruencia:
\begin{cases}{x \equiv 8 (mod13)}\\x \equiv 3 (mod11)\\x \equiv 5 (mod8)\end{cases}

Necesito encontrar el valor de x, por lo que aplique la definición de congruencia en la primera ecuación:
\( x \equiv 8 (mod13)\Longrightarrow{x = 13k + 8, k\in{\mathbb{Z}}} \)

Luego reemplazo el valor de x en la segunda ecuación:
\( x \equiv 3 (mod11)\Longrightarrow{13k + 8 \equiv 3 (mod11)} \)

El problema que estoy teniendo es que esta ultima expresion me dicen que equivale a \( 2k \equiv 6 (mod11) \)
Pero no se como llegar a esa equivalencia.
¿De qué forma puedo llegar a dicha equivalencia?

Espero me puedan dar una mano, de todos modos muchas gracias por leerme!
Saludos!

[mg]

Hola,

¡Claro! Porque $$13\equiv{}2mod(11)$$ y $$3-8=-5$$ pero como $$11\equiv{}0mod(11)$$ entonces $$11-5=6\equiv{}-5mod(11)$$.

Un saludo.

[feriva]

Buenas tardes, espero que se encuentren bien.
Hace bastante tiempo que no paso por acá, la verdad que en su momento abandone mis estudios y ahora estoy volviendo a retomar. Y justo que ahora tengo una inquietud me acorde que existía esta comunidad!

Tengo un sistema de ecuaciones de congruencia:
\begin{cases}{x \equiv 8 (mod13)}\\x \equiv 3 (mod11)\\x \equiv 5 (mod8)\end{cases}

Necesito encontrar el valor de x, por lo que aplique la definición de congruencia en la primera ecuación:
\( x \equiv 8 (mod13)\Longrightarrow{x = 13k + 8, k\in{\mathbb{Z}}} \)

Luego reemplazo el valor de x en la segunda ecuación:
\( x \equiv 3 (mod11)\Longrightarrow{13k + 8 \equiv 3 (mod11)} \)

El problema que estoy teniendo es que esta ultima expresion me dicen que equivale a \( 2k \equiv 6 (mod11) \)
Pero no se como llegar a esa equivalencia.
¿De qué forma puedo llegar a dicha equivalencia?

Espero me puedan dar una mano, de todos modos muchas gracias por leerme!
Saludos!

Es que el método general es largo de explicar; busca “Teorema chino del resto”, que es cómo se llama. En sí no es complicado, pero al final tienes que resolver ecuaciones diofánticas, que es lo más laborioso.
Aquí tienes dos enlaces donde puedes ver cómo se resuelven:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=26781.0

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=26742.0

Lo de la equivalencia, que es la pregunta básicamente, es aparte; míralo así

\( {13k+8\equiv3(mod11)}  \)

\( 13k\equiv-5(mod11)  \)

Pero \( -5\equiv6(mod11)  \)

Entonces

\( 13k\equiv6(mod11)
   \)

(normalmente pasamos las equivalencias negativas a positivas).

Ahora

\( 11k+2k\equiv6(mod11)
   \)

\( 2k\equiv6(mod11)
   \)

Saludos.