Hola
Hola que tal, me podrían brindar ayuda sobre la siguiente prueba.
Dada una función \( f:A\rightarrow{B} \), pruebe que la función \( g:A\rightarrow{f(A)} \) , definida por \( f(x)=g(x) \), es sobreyectiva. Concluya que \( g \) es biyectiva si y solo si \( f \) es inyectiva.
Es muy inmediato.
Una aplicación \( h:P\to Q \) es sobreyectiva si para todo \( q\in Q \) existe \( p\in P \)tal que \( h(p)=q \).
Por otro lado por definición \( f(A)=\{b\in B|\exists a\in A\textsf{ con }f(a)=b\} \).
Por tanto dado \( b\in f(A) \) existes un \( a\in A \) tal que \( g(a)=f(a)=b \) y así \( g \) es sobreyectiva.
Por otra parte una función es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.
Dado que \( g \) siempre es sobreyectiva, \( g \) es biyectiva si y sólo si es inyectiva.
Así que ya sólo te queda probar que \( g \) es inyectiva si y sólo si \( f \) es inyectiva; pero es inmediato de la definición de inyectividad y del hecho de que ambas funciones se definen igual sobre cada elemento \( g(a)=f(a) \).
Saludos.
