Hola
Estás abusando del uso de imágenes: una cosa es usarlas para adjuntar un fragmento de unos apuntes; pero, por favor, los enunciados de los problemas sobre los cuáles tienes dudas cópialos explícitamente en el mensaje.a) Las secuencias de largo n formadas por R,A,V y M por regla de la suma se dividen en 4 grupos, las que empiezan con R, las que empiezan con A, con V y con M. Entonces en una secuencia de largo n, fijando por ejemplo A al principio, a continuación tendremos la secuencia restante de largo n-1, ejemplo:
Y así para cada secuencia que comience con uno de los 4 colores
Por regla de la suma \( ạ̣_n=ạ̣_{n-1}+ạ̣_{n-1}+ạ̣_{n-1}+ạ̣_{n-1}=4ạ̣_{n-1} \) seria la solución.
Bien. Es decir \( a_n=4a_{n-1} \).
Sin ecuaciones de recurrencia uno puede razonar: para la primera línea tenemos \( 4 \) opciones; por cada una de ellas para la segunda otras cuatro; para la tercera otras cuatro... y así sucesivamente...
\( a_n=\underbrace{4\cdot 4\cdot \ldots\cdot 4}_{n}=4^n \)
b) Ahora es donde creo que no serviría razonar lo mismo que antes y aquí es donde se me ocurre usar algo parecido al ejercicio resuelto de arriba, tambien se me ocurre algo medio extraño pero quedaría muchos subcasos y creo que no funcionaria y también otra idea, pero casi nada que ver con este razonamiento, seria como fijar un color de inicio y saber que el siguiente no puede ser el mismo y hacer algo similar a la parte a
Aquí cada vez que añades una línea puedes usar cualquiera de los cuatro colores menos el de la línea anterior (tres opciones por tanto):
\( b_{n+1}=3b_n \) con \( b_1=4 \)
O razonando como antes: para la primera línea tenemos \( 4 \) opciones; por cada una de ellas para la segunda tres (no repetimos la anterior); para la tercera tres (no repetimos la anterior)... y así sucesivamente...
\( b_n=4\cdot \underbrace{3\cdot 3\cdot \ldots\cdot 3}_{n}=3^{n-1} \)
(c) Dos franjas adyacentes nunca pueden ser del mismo color, como tampoco pueden serlo la primera y la última de las franjas.
Esto es más delicado. En principio al añadir una línea tenemos DOS opciones para el color, si no queremos repetir el color de la línea anterior, ni el de la primera línea. Esto es válido si en la cadena a la que añadíamos una línea, la primera y la última no coinciden en color. Pero ojo, si ambos coinciden (el de la casilla anterior y el de la primera) tendríamos en realidad TRES opciones. Por tanto la relación sería:
\( c_{n+1}=2c_n+3(b_n-c_n) \) (*)
Fíjate que:
\( c_n \) es el número de banderas de \( n \) líneas sin colores adyacentes juntos y con primero y último distintos.
\( b_n-c_n \) es el número de banderas de \( n \) líneas sin colores adyacentes juntos y con primero y último IGUALES.
Queda:
\( c_{n+1}=3b_n-c_n \)
Si queremos dejarlo sólo en función de \( c_n \) usamos que \( 3b_n=b_{n+1} \). Entonces:
\( c_{n+1}=b_{n+1}-c_n \)
\( c_{n+2}=3b_{n+1}-c_{n+1} \)
Si a la segunda le restas la primera por tres y simplificas, te queda:
\( c_{n+2}=2c_{n+1}+3c_n \) para
Al final saldrá \( c_n=3^n+3(-1)^n \).
Añadido: Directamente: una bandera de longitud \( n \) sin colores adyacentes juntos donde primer y último color coinciden se construye a partir de una de longitud \( n-1 \) sin colores adyacentes juntos donde primer y último color NO coinciden, a la cual se le añade necesariamente al final el mismo color del principio. Es decir en (*) donde puse \( b_n-c_n \) se puede poner directamente \( c_{n-1} \).
Saludos.
