[Nub]

Hola, cuando nos enseñaron este método, una motivación era que se ahorraba en hacer cuentas para resolver sistemas y viendo el método a simple vista no parece serlo, pues para calcular L hay que multiplicar todas las matrices inversas de las transformaciones elementales de U y aca viene el "atajo" que básicamente era meter los coeficientes de cada matriz elemental en la matriz L, el dibujo la siguiente imagen lo explica mejor


La cosa es que tengo el siguiente ejercicio, encontrar L y U de A

\( A=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\\{2}&{2}&{3}\\{-1}&{-3}&{0}\end{bmatrix} \)

Para hallar U, solo necesto escalerizar

\( \begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\\{0}&{-2}&{1}\\{-1}&{-3}&{0}\end{bmatrix} \) \( f2=-2f1+f2 \) E1

\( \begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\\{0}&{-2}&{1}\\{0}&{-1}&{1}\end{bmatrix} \) \( f3=f1+f3 \) E2

\( \begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\\{0}&{-2}&{1}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \) \( f3=-2f3+f2 \) E3
 
Ahora las matrices elementales de cada transformación elemental

\( E1=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{-2}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \)

\( E2=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{1}\end{bmatrix} \)

\( E3=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{-2}\end{bmatrix} \)

Y ahora no puedo usar ese atajo porque necesariamente L debe tener una diagonal de unos

[Luis Fuentes]

Hola

\( \begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\\{0}&{-2}&{1}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \) \( f3=-2f3+f2 \) E3

Eso no es una operación elemental. Son dos. Has multiplicado la tercera fila por \( -2 \) y luego le has sumado la segunda.

Si estás haciendo está factorización no puedes multiplicar una fila por un número; sólo puedes a una fila sumarle un múltiplo de otra anterior.

En ese caso deberías de hacer \( F_3=F_3-\dfrac{1}{2}F_2 \)

Saludos.

[Nub]

Hola

\( \begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\\{0}&{-2}&{1}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \) \( f3=-2f3+f2 \) E3

Eso no es una operación elemental. Son dos. Has multiplicado la tercera fila por \( -2 \) y luego le has sumado la segunda.

Si estás haciendo está factorización no puedes multiplicar una fila por un número; sólo puedes a una fila sumarle un múltiplo de otra anterior.

En ese caso deberías de hacer \( F_3=F_3-\dfrac{1}{2}F_2 \)

Saludos.

Esto es por ejemplo en este caso, si tendría 4 matrices elementales (ya que eran dos transformaciones en 1, las que coloque arriba) no podria usar este "atajo"? ya que necesito 3 coeficientes y si tengo 4 matrices elementales necesariamente tendré 4

[martiniano]

Hola.

Esto es por ejemplo en este caso, si tendría 4 matrices elementales (ya que eran dos transformaciones en 1, las que coloque arriba) no podria usar este "atajo"? ya que necesito 3 coeficientes y si tengo 4 matrices elementales necesariamente tendré 4

Sí. Sí que se puede utilizar. Cambias de signo los coeficientes y construyes \[ L \]. Lo que tienes que utilizar el coeficiente de la transformación de Luis. Quedaría así:

\[ L=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{2}&{1}&{0}\\{-1}&{\displaystyle\frac{1}{2}}&{1}\end{bmatrix} \]

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Esto es por ejemplo en este caso, si tendría 4 matrices elementales (ya que eran dos transformaciones en 1, las que coloque arriba) no podria usar este "atajo"? ya que necesito 3 coeficientes y si tengo 4 matrices elementales necesariamente tendré 4

Pero no entiendo la pregunta; el problema en este caso no es que hicieses dos operaciones en una, sino que una de ellas no puede hacerse en la factorización LU (sin matriz de pìvotes): no puedes multiplicar una fila por un número (sin más, sin sumársela a otra).

Saludos.

[Nub]

Hola

Esto es por ejemplo en este caso, si tendría 4 matrices elementales (ya que eran dos transformaciones en 1, las que coloque arriba) no podria usar este "atajo"? ya que necesito 3 coeficientes y si tengo 4 matrices elementales necesariamente tendré 4

Pero no entiendo la pregunta; el problema en este caso no es que hicieses dos operaciones en una, sino que una de ellas no puede hacerse en la factorización LU (sin matriz de pìvotes): no puedes multiplicar una fila por un número (sin más, sin sumársela a otra).

Saludos.

A lo que me refería es que, multiplicar por un numero una fila es una transformación elemental, y yo hice dos transformaciones elementales y las puse en la matriz "elemental" y quedaron 3 matrices elementales estando la ultima mal ya que hice dos transformaciones elementales, la pregunta era, que pasa si en vez de hacer dos transformaciones elementales juntas en una matriz "elemental" hago las matrices elementales una por una es decir la E1 y E2 iguales y la E3 solamente va ser multiplicar por -2 y la E4 sumar la segunda fila

[Nub]

Hola.

Esto es por ejemplo en este caso, si tendría 4 matrices elementales (ya que eran dos transformaciones en 1, las que coloque arriba) no podria usar este "atajo"? ya que necesito 3 coeficientes y si tengo 4 matrices elementales necesariamente tendré 4

Sí. Sí que se puede utilizar. Cambias de signo los coeficientes y construyes \[ L \]. Lo que tienes que utilizar el coeficiente de la transformación de Luis. Quedaría así:

\[ L=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{2}&{1}&{0}\\{-1}&{\displaystyle\frac{1}{2}}&{1}\end{bmatrix} \]

Saludos.

Gracias por responder, pero eso si lo había echo y lo entendí, me refería básicamente a usar mas trasnformaciones elementales y por lo tanto mas matrices elementales quedarian

[Luis Fuentes]

Hola

A lo que me refería es que, multiplicar por un numero una fila es una transformación elemental, y yo hice dos transformaciones elementales y las puse en la matriz "elemental" y quedaron 3 matrices elementales estando la ultima mal ya que hice dos transformaciones elementales, la pregunta era, que pasa si en vez de hacer dos transformaciones elementales juntas en una matriz "elemental" hago las matrices elementales una por una es decir la E1 y E2 iguales y la E3 solamente va ser multiplicar por -2 y la E4 sumar la segunda fila

Francamente sigo sin entenderte. ¿Qué pasa en qué sentido? No pasa nada.

Tu puedes hacer millones de operaciones elementales sobre una matriz \( 3\times 3 \) y cada una corresponde a una matriz elemental. ¿Y qué problema tiene eso?.

Lo que si es cierto es que si lo que buscas es la factorización \( LU \), cuando existe (ojo, no siempre existe), si se trata de una matriz \( 3\times 3 \), son suficientes tres operaciones elementales; si has usado más (ojo, de las permitidas para la factorización \( LU \)) seguro que lo que has hecho podría haberse conseguido igualmente usando sólo \( 3 \).

Saludos.

[Nub]

Lo que si es cierto es que si lo que buscas es la factorización \( LU \), cuando existe (ojo, no siempre existe), si se trata de una matriz \( 3\times 3 \), son suficientes tres operaciones elementales; si has usado más (ojo, de las permitidas para la factorización \( LU \)) seguro que lo que has hecho podría haberse conseguido igualmente usando sólo \( 3 \).

Es esto a lo que me refería, pero dejémoslo en que hay que usar las minimas operaciones elementales

[Luis Fuentes]

Hola

Es esto a lo que me refería, pero dejémoslo en que hay que usar las minimas operaciones elementales

mmmm... no quiero ser pesado, pero en realidad no es eso. Todo lo que sigue es hablando de la factorización [te]LU[/tex]:

No hay ningún problema en usar operaciones elementales "extra" o innecesarias; en todo caso el problema es trabajar "de más". Pero no es incorrecto.

El problema está en usar operaciones elementales que NO SON VÁLIDAS para la factorización LU:

- Puedes: a una fila sumarle un múltiplo de otra anterior.
- NO puedes: multiplicar una fila por un número, cambiar dos filas de orden; a una fila sumarle un múltiplo de otra posterior.

Saludos.