[PArias]

  Quiero saber cual es la verdadera definición exacta, formal y rigurosa de función. En algunos libros (en especial de matematica discreta) que una función \( f \) es un tipo especial de relación entre dos conjuntos \( A \) y \( B \) tal que cada \( x\in{A} \) le corresponde un solo elemento del codominio \( y\in{B} \), es decir, una función f es un conjunto de pares ordenados al igual que una relación, además que no es necesario que exista o se explicite una regla que determine los elementos del rango para cada elemento del dominio (Esta definición se parece a las ofrecidas por Fourier y Dirichlet). Pero en otras fuentes se dice que una función es una regla que dado un dominio permite calcular cada elemento del rango mediante cada elemento del dominio. Yo se que parece la misma definición, pero no lo es, la primera dice que una función \( f \) es un subconjunto del producto cartesiano de \( A\times B \), es decir, un conjunto de pares ordenados, mientras que la segunda indica que una función f es una regla (por lo regular una expresión algebraica) entre los conjuntos dominio y rango \( A \) y \( B \). Entonces, ¿Qué es exactamente una función, es un conjunto o es simplemente una regla como una expresión algebraica del tipo \( x^2 \) o \( 9x + x^3 \)? GRACIAS

[Luis Fuentes]

Hola

Quiero saber cual es la verdadera definición exacta, formal y rigurosa de función. En algunos libros (en especial de matematica discreta) que una función \( f \) es un tipo especial de relación entre dos conjuntos \( A \) y \( B \) tal que cada \( x\in{A} \) le corresponde un solo elemento del codominio \( y\in{B} \), es decir, una función f es un conjunto de pares ordenados al igual que una relación, además que no es necesario que exista o se explicite una regla que determine los elementos del rango para cada elemento del dominio (Esta definición se parece a las ofrecidas por Fourier y Dirichlet). Pero en otras fuentes se dice que una función es una regla que dado un dominio permite calcular cada elemento del rango mediante cada elemento del dominio. Yo se que parece la misma definición, pero no lo es, la primera dice que una función \( f \) es un subconjunto del producto cartesiano de \( A\times B \), es decir, un conjunto de pares ordenados, mientras que la segunda indica que una función f es una regla (por lo regular una expresión algebraica) entre los conjuntos dominio y rango \( A \) y \( B \). Entonces, ¿Qué es exactamente una función, es un conjunto o es simplemente una regla como una expresión algebraica del tipo \( x^2 \) o \( 9x + x^3 \)? GRACIAS

 La definición más extendida es la que citas inicialmente, marcada en rojo.

Saludos.

[PArias]

Muchas gracias Luis, agradezco tus oportunas respuestas, son de mucha ayuda. Pero, ¿Cómo se paso de esa definición clásica (función como una regla) a la definición moderna conjuntista. Me parece que en algún punto de la historia los matemáticos encontraron inconsistencias con la definición clásica, pero también imagino que la definición comenzó a mutar poco a poco hasta tomar la definición actual, y por supuesto cada cambio debe estar respaldado por un argumento muy solido. ¿Podrías completar esta discusión, pues me parece que falta algo de información entre ambas definiciones que las vuelva no solo compatibles, sino también complementarias y en favor del buen sentido y la claridad?
Adicional a esto, ¿Las funciones que si están determinadas por una regla, representan algún tipo particular de función respecto a las que no?

[DaniM]

A mi parecer el problema está en que cuando lees la palabra "regla" estás asumiendo que se refiere exclusivamente a una expresión algebraica. Hasta donde yo sé, no hay ninguna definición matemática de "regla", por lo que en lenguaje humano este concepto es tan vago, y por lo tanto tan flexible, que te permite interpretar la segunda definición como una equivalente de la primera. Al final lo que se pretende definiendo una función concreta es justamente describir un criterio sobre cómo relacionar los elementos de un conjunto con los elementos de otro.

La función \( f: \{1, 2, 3\} \longrightarrow{} \{1, 2, 3\} \) dada por \( f = \{(1, 1), (2, 3), (3, 2)\} \) ya es una regla. Es una regla que dice que \( f(1) = 1 \), \( f(2) = 3 \) y \( f(3) = 2 \), o de forma equivalente, que dado un \( (a, b)\in{f} \), si \(  a = 1 \) entonces \( b = 1 \), si \( a = 2 \) entonces \( b = 3 \), etc. No es una regla que se pueda resumir con una expresión algebraica, pero sigue dejando la función bien definida en cuanto a que queda claro cuáles son los pares ordenados que conforman el conjunto \( f \) y que éste cumple lo que tiene que cumplir.

[feriva]

Quiero saber cual es la verdadera definición exacta, formal y rigurosa de función.

Es que va evolucionando. El concepto de función con la notación actual lo inventa Leibniz, según cuenta Conduitt (u otro de los biógrafos de Newton, no recuerdo ahora) cuando pergeña su cálculo diferencial, el cual nace junto con el concepto de derivada; pero entonces aún no se había pensado en otras ideas que hoy van unidas a tal concepto, acababa de inventarse.
Por otro lado, Newton también inventa su cálculo, que es prácticamente lo mismo, pero no usa funciones porque no las conocía, y para anotar las derivadas las sustituye con el concepto de fluxiones;  para las derivadas sucesivas utiliza esta notación \( \overset{.}{x} \) \( \overset{..}{x} \), \( \overset{...}{x} \)... Antes de eso no se utilizaba dicho concepto como tal; había fórmulas con letras, pero cualquier uso de algo parecido a una función, antes de Leibniz, era intuitivo, no había nada reglado ni se le llamaba así; al menos “oficialmente”.

Buscando en internet ahora, según veo, el concepto de función moderno, como una correspondencia entre objetos, es de Dirichlet.

Saludos.

[Masacroso]

Muchas gracias Luis, agradezco tus oportunas respuestas, son de mucha ayuda. Pero, ¿Cómo se paso de esa definición clásica (función como una regla) a la definición moderna conjuntista?

Aquí tienes un artículo muy detallado de la evolución del concepto:

https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_function_concept

Aquí tienes otro artículo sobre lo mismo en castellano:

https://www.monografias.com/trabajos88/evolucion-del-concepto-funcion-inicios-del-siglo-xx/evolucion-del-concepto-funcion-inicios-del-siglo-xx

Y si buscas en cualquier buscador decente con la cadena de texto "historia concepto función" (o por "history concept function" para encontrar resultados en inglés) encuentras muchos más enlaces. Es lo que acabo de hacer para dejarte los dos enlaces de arriba.