[Nub]

Hola, quisiera saber si esta bien lo que hice, y como podría calcular algunos terminos de la sucesión resultante.
Letra:

Convolucion

Identidades


A) \( a_{n}=1,1,1,1,1,0,0,... \)  y  \( b_{n}=1,1,1,... \)
\( a_{n}=1,1,1,1,1,0,0,...= \) Usando la Suma geometrica finita\( =\dfrac{1-x^5}{1-x} \)
\( b_{n}=1,1,1,... \)Usando la suma geometrica infinita \( =\dfrac{1}{1-x} \)

Los multiplico y \( \dfrac{1-x^5}{(1-x)^2} \) ahora ni idea como llevarlo de nuevo a una serie de potencias, por lo tanto no se como conseguir algun termino.

B) \( a_{n}=1,-1,1,-1,1...=\dfrac{1}{1+x} \)
 \( b_{n}=1,-1,1,-1,1...=\dfrac{1}{1+x} \)
Queda \( \dfrac{1}{(1+x)^2} \)
Aunque aca si podía haber usado la definición de la Convolucion
\( \sum_{i=1}^{m}(-1)^i(-1)^{m-i}=\sum_{i=1}^{m}(-1)^m=(-1)^m\sum_{i=1}^{m}1=(m+1)(-1)^m \)

C)

\( a_{n}=1,1,1,1,0,0,0,...=\dfrac{1-x^4}{1-x} \)

\( b_{n}=0,1,2,3,0,0...=1x+2x^2+3x^3=x(1+2x+3x^2)=x(\dfrac{1-x^4}{1-x}) \)


multiplico y luego \( \dfrac{x(1-x^4)^2}{(1-x)^2} \)
Muchas gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Es que en ninguno de los casos te vale la pena pasar a los cocientes.

 En el primer caso, por definición:

\(  c_n=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}a_ib_{n-i}=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}a_i \)

 Dado que los términos de \( a_i \) son uno los cinco primeros y cero el resto, la sucesión \( \{c_n\} \) te queda: \( 1,2,3,4,5,5,5,5,\ldots \).

 El segundo ya lo has hecho tu, aunque el sumatorio debe de empezar en cero.

 Para el tercero, ¿si son series finitas porqué no las multiplicas directamente?.

b_{n}=0,1,2,3,0,0...=1x+2x^2+3x^3=x(1+2x+3x^2)=\color{red}x(\dfrac{1-x^4}{1-x})\color{black}

 Ese cociente está mal, en cualquier caso. Yo digo:

\(  x(1+2x+3x^2)(1+x+x^2+x^3)=\ldots \)

Saludos.

[Nub]

Hola

 Es que en ninguno de los casos te vale la pena pasar a los cocientes.

Como decía formula pensé que valía 

Para el tercero, ¿si son series finitas porqué no las multiplicas directamente?.

b_{n}=0,1,2,3,0,0...=1x+2x^2+3x^3=x(1+2x+3x^2)=\color{red}x(\dfrac{1-x^4}{1-x})\color{black}

 Ese cociente está mal, en cualquier caso. Yo digo:

\(  x(1+2x+3x^2)(1+x+x^2+x^3)=\ldots \)

Saludos.

Creo que mi error fue usar el resultado de la serie geometrica finita en \( x(1+2x+3x^2) \) y ese resultado era para \( 1+x+x^2..+x^n \) no? podría ver que eso es la derivada de 1+x+x^2+x^3 o hay otra forma?

[Nub]

Hola

 Es que en ninguno de los casos te vale la pena pasar a los cocientes.

 En el primer caso, por definición:

\(  c_n=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}a_ib_{n-i}=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}a_i \)

 Dado que los términos de \( a_i \) son uno los cinco primeros y cero el resto, la sucesión \( \{c_n\} \) te queda: \( 1,2,3,4,5,5,5,5,\ldots \).

Como hallaste los terminos de la sucesión? porque de la sumatoria no es posible (creo)

[Luis Fuentes]

Hola

Creo que mi error fue usar el resultado de la serie geometrica finita en \( x(1+2x+3x^2) \) y ese resultado era para \( 1+x+x^2..+x^n \) no? podría ver que eso es la derivada de \( 1+x+x^2+x^3 \) o hay otra forma?

Si, se puede jugar con esa derivada. Eso es útil para sumas más grandes; pero en este caso siendo de cuatro término no se si vale la pena.

Como hallaste los terminos de la sucesión? porque de la sumatoria no es posible (creo)

Por una parte todos los \( b_i \) son iguales a \( 1 \). Por eso queda:

\( c_n=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}a_i \)

y después simplemente hay que tener en cuenta que \( a_0=a_1=a_2=a_3=a_4=1 \) y el resto cero.

Mientras \( n \) no llega a cinco, la suma se va incrementando cada vez en uno más:

\( c_0=a_0=1 \)
\( c_1=a_0+a_1=1+1=2 \)
\( c_2=\ldots=3 \)
\( c_3=\ldots=4 \)
\( c_4=\ldots=5 \)

y luego se estanca, porque ya sólo sumamos cero,\( 5= c_5=c_6=c_7=\ldots \).

Saludos.

[Nub]

 Para el tercero, ¿si son series finitas porqué no las multiplicas directamente?.


Saludos.

No se, creo que no se puede usar la convolucion con series finitas

Intentare hacer algo, no se si funcionara:
\( a_{n}=1,1,1,1,0,0,...,0=1+1x+1x^2+x^3=\displaystyle\sum_{n=0}^3x^n \)
\( b_{n}=0,1,2,3,0,0,...,0=0+1x+2x^2+3x^3=\displaystyle\sum_{n=0}^3nx^n \)
Hago la convolucion:
\( \displaystyle\sum_{i=0}^nx^i(n-i)x^{n-i} \)
¿Esta bien?

[Luis Fuentes]

Hola

No se, creo que no se puede usar la convolucion con series finitas

¿A qué viene ese afirmación?. Una serie finita, no es más que una infinita con casi todo sus coeficientes ceros.

No acabo de entender por que te complicas. Lo único que estamos haciendo es multiplicar dos series infinitas igual que lo haríamos si fuesen finitas.

Cuando escribimos:

\( A(X)=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{}a_ix^i \)
\( B(X)=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{}b_ix^i \)
\( C(X)=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{}c_ix^i \)

con \( c_n=\displaystyle\sum_{i=}^n{}a_ib^{n-i} \), \( C(X) \) representa la serie del producto de \( A(X)B(X) \). El coeficiente de \( x^n \) aparece cuando mutlipicamos un término de grado i de una serie con otro de grado n-i; de ahí la fórmula.

Intentare hacer algo, no se si funcionara:
\( a_{n}=1,1,1,1,0,0,...,0=1+1x+1x^2+x^3=\displaystyle\sum_{n=0}^3x^n \)
\( b_{n}=0,1,2,3,0,0,...,0=0+1x+2x^2+3x^3=\displaystyle\sum_{n=0}^3nx^n \)
Hago la convolucion:
\( \displaystyle\sum_{i=0}^nx^i(n-i)x^{n-i} \)
¿Esta bien?

Simplemente:

\( (1+x+x^2+x^3)x(1+2x+3x^2)=x(1 + 3 x + 6 x^2 + 6 x^3 + 5 x^4 + 3 x^5)=x+3x^2+6x^3+6x^4+5x^6+3x^6 \)

sin más que remangarse y multiplicar. Por tanto la serie de coeficientes de la convolución sería \( 0,1,3,6,6,5,3,0,0,\ldots \)

Saludos.

[Nub]

Hola

No se, creo que no se puede usar la convolucion con series finitas

¿A qué viene ese afirmación?. Una serie finita, no es más que una infinita con casi todo sus coeficientes ceros.

No acabo de entender por que te complicas. Lo único que estamos haciendo es multiplicar dos series infinitas igual que lo haríamos si fuesen finitas.

Cuando escribimos:

\( A(X)=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{}a_ix^i \)
\( B(X)=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{}b_ix^i \)
\( C(X)=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{}c_ix^i \)

con \( c_n=\displaystyle\sum_{i=}^n{}a_ib^{n-i} \), \( C(X) \) representa la serie del producto de \( A(X)B(X) \). El coeficiente de \( x^n \) aparece cuando mutlipicamos un término de grado i de una serie con otro de grado n-i; de ahí la fórmula.

Intentare hacer algo, no se si funcionara:
\( a_{n}=1,1,1,1,0,0,...,0=1+1x+1x^2+x^3=\displaystyle\sum_{n=0}^3x^n \)
\( b_{n}=0,1,2,3,0,0,...,0=0+1x+2x^2+3x^3=\displaystyle\sum_{n=0}^3nx^n \)
Hago la convolucion:
\( \displaystyle\sum_{i=0}^nx^i(n-i)x^{n-i} \)
¿Esta bien?

Simplemente:

\( (1+x+x^2+x^3)x(1+2x+3x^2)=x(1 + 3 x + 6 x^2 + 6 x^3 + 5 x^4 + 3 x^5)=x+3x^2+6x^3+6x^4+5x^6+3x^6 \)

sin más que remangarse y multiplicar. Por tanto la serie de coeficientes de la convolución sería \( 0,1,3,6,6,5,3,0,0,\ldots \)

Saludos.

Perdón Luis, me hice un lió tremendo  aun así rehíce la convolucion y quedo bien. Muchas gracias