[Nub]

Hola, tengo una duda si es correcto la parte B que hice y también venia por alguna idea para la parte C

B) Por absurdo supongo que existen matrices \( A \) y \( B \)  tal que \( AB-BA=I \), entonces se cumple que \( Tr(AB-BA)=Tr(I) \)

Aca viene mi duda, hace poco demostré que \( Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B) \) y salia basicamente usando la propiedad de la sumatoria, asi que supongo que funcionara para la resta, \( Tr(A-B)=Tr(A)-Tr(B) \) usando eso:

\( Tr(AB)-Tr(BA)=Tr(I) \)
Ahora despejando la propiedad que esta en la imagen \( Tr(AB)=Tr(BA) \) y  \( Tr(AB)-Tr(BA)=0 \)

Luego \( 0=Tr(I) \)
como la traza es la suma de la diagonal, en la identidad, debe ser una suma de unos, entonces va ser diferente de 0, ahi el absurdo.

C) Acá es donde necesito la idea, lo hice para un n=4 y lo pude "demostrar" pero en general no se me ocurre, va se me ocurre algo medio extraño usando las definiciones de producto y de traza, quedando como una doble sumatoria, pero no puedo llegar a algo parecido cuando hice con n=4.
Muchas gracias

[delmar]

Hola

b) Lo veo bastante bien, solo hay que adaptarlo mejor y formalizarlo, primero demostrar \( Tr(A-B)=Tr(A)-Tr(B) \) se puede hacer considerando que \( A-B=A+(-1)B\wedge Tr((-1) \ B)=-Tr(B) \)

c) Considera las propiedades de traspuesta y producto de matrices :

Si \( C=AB\Rightarrow{c_{ij}=<A_i,B^j>, \ \ \ i=1,2,...n; \ \ \ j=1,2,..n} \) donde A,B son matrices cuadradas de orden n y \( A_i,B^j \) son el renglon i de la matriz A y la columna j de la matriz B, evidentemente el producto del renglón y la columna equivale al producto interno de ambos como vectores, por ello el símbolo \( <,> \). Cuando \( B=A^t\Rightarrow{B^j=A_j} \) luego considera la definición de traza \( tr(AA^t)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{c_{ii}}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{<A_i,A_i>} \) observa que cada sumando es la norma al cuadrado del vector \( A_i \) las propiedades de norma te permiten concluir


Saludos

[Nub]

Hola

b) Lo veo bastante bien, solo hay que adaptarlo mejor y formalizarlo, primero demostrar \( Tr(A-B)=Tr(A)-Tr(B) \) se puede hacer considerando que \( A-B=A+(-1)B\wedge Tr((-1) \ B)=-Tr(B) \)

c) Considera las propiedades de traspuesta y producto de matrices :

Si \( C=AB\Rightarrow{c_{ij}=<A_i,B^j>, \ \ \ i=1,2,...n; \ \ \ j=1,2,..n} \) donde A,B son matrices cuadradas de orden n y \( A_i,B^j \) son el renglon i de la matriz A y la columna j de la matriz B, evidentemente el producto del renglón y la columna equivale al producto interno de ambos como vectores, por ello el símbolo \( <,> \). Cuando \( B=A^t\Rightarrow{B^j=A_j} \) luego considera la definición de traza \( tr(AA^t)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{c_{ii}}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{<A_i,A_i>} \) observa que cada sumando es la norma al cuadrado del vector \( A_i \) las propiedades de norma te permiten concluir


Saludos

Me alegro que haya quedado relativamente bien la parte B, En la parte C, algo parece a como quedo cuando hice mi ejemplo, la cosa es que todavía no llegue a vectores. Habrá otra forma?

[delmar]

Es que por definición de producto de matrices \( c_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_{ik}b_{kj}} \) cuando \( B=A^t \) se tiene \( c_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_{ik}a_{jk}} \) para un elemento de la diagonal i=j se tiene \( c_{ii}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_{ik}^2} \) ahí aplica las propiedades de los reales

Saludos

[Nub]

Es que por definición de producto de matrices \( c_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_{ik}b_{kj}} \) cuando \( B=A^t \) se tiene \( c_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_{ik}a_{jk}} \) para un elemento de la diagonal i=j se tiene \( c_{ii}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_{ik}^2} \) ahí aplica las propiedades de los reales

Saludos

Desde aca ya puedo concluir no? basicamente es una suma de reales elevados al cuadrado, tiene que ser mayor que cero o puede ser 0 si las entradas de A son 0

[delmar]

Claro eso respecto a \( c_{ii} \) lo cual tiene implicancias respecto a la traza la cual es \( tr(C)\displaystyle\sum_{i=1}^n{c_{ii}} \)

Saludos

[Nub]

Claro eso respecto a \( c_{ii} \) lo cual tiene implicancias respecto a la traza la cual es \( tr(C)\displaystyle\sum_{i=1}^n{c_{ii}} \)

Saludos

\( tr(C)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_{ik}^2} \)
Pero no queda asi?

[delmar]

Sí, esta bien de ahí se deduce lo que piden

Saludos

[Nub]

Sí, esta bien de ahí se deduce lo que piden

Saludos

en la doble sumatoria como se calcularia algunos terminos? Asi?
\( tr(C)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_{ik}^2}=a_{11}^2+a_{22}^2+a_{33}^2+...+a_{nn}^2 \)

[delmar]

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_{ik}^2}}=(a_{11}^2+a_{12}^2...+a_{1n}^2)+(a_{21}^2+a_{22}^2...+a_{2n}^2)+...+(a_{n1}^2+a_{n2}^2...+a_{nn}^2) \) es obvio que esa suma es mayor o igual que cero y para que sea cero todos los términos han de ser cero

Saludos