Hola
Buenas. Me preguntaba si es posible encontrar una cota inferior positiva y creciente (para \( x > 2 \)) para esta función:
\( f(x) = \displaystyle\sum_{k=1}^x{ \left |{\sin(x\pi/k)}\right |} \)
Para la superior creo que vale simplemente con \( x - 2 \) (aunque igual se puede apurar más), ya que el seno no puede ser mayor a \( 1 \) y da \( 0 \) para \( k = 1 \) y \( k = x \).
Pero para la inferior no se me ocurre nada similar, aunque algo me dice que tiene que haberla también.. 
Saludos.
Editado.
Entiendo que es una función definida para los enteros. Si uno la representa ve que los puntos de su gráfica se aproximan mucho a una recta de pendiente \( m \) donde:
\( m=\displaystyle\int_{0}^{1}|sin(\pi/t)|dt \)
Esto tiene sentido porque tal integral equivale a:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\displaystyle\sum_{k=1}^n{}|sin(n \pi k/k)| \)
Ahí se pueden intuir las cotas moviendo un poquito esa recta; otra cosa es demostrar rigurosamente que funcionan.
En naranja tienes la recta y en azul la nube de puntos imagen de la función. Como ves "revolotean" cerca de esa recta; en algún momento alguno se escapa un poco más de la cuenta...
Saludos.
Muchas gracias Luís. Sí, tal y como está estaría definida sólo para los enteros, tal vez debí utilizar una \( n \) en vez de una \( x \) o aclararlo. Aunque como a veces se pueden encontrar fórmulas explícitas para las sumatorias y extenderlas a los reales (aunque no parece que sea el caso
)..
De hecho he encontrado muy poca información sobre esta sumatoria, sobre otras como \( \displaystyle\sum_{k=1}^x{ \left |{\sin(xk)}\right |} \) o \( \displaystyle\sum_{k=1}^x{ \left |{\sin(x + k)}\right |} \) si parece que se puede encontrar una fórmula (según el wolfram), pero esta en concreto ni graficarla me dejaba. Así que ya me has dado bastante más información de la que tenía con todo lo que me has dicho.
PD. Me interesaba especialmente esta función porque parece que se puede relacionar con los números primos (si se usa la función techo para cada sumando) pero parece que no se puede hacer casi nada con ella o que a penas hay información (o yo no sé buscarla al menos
)
Saludos.
