Llevando esta idea al ejercicio del ajedrecista, como podría llevarlo a que sean 5 dias y no desde el dia j hasta el dia i? (ya se que me diste un ejemplo de porque no se puede, pero con esta idea me refiero) Porque aparentemente funciona si decimos "varios días consecutivos" y no 5, quiero verlo usando esta idea
Empiezo desde el principio hasta el final, con el caso del ajedrez y un ejemplo.
Tendrías igualmente \( x_{1}=a\geq1
\); \( x_{2}=a+b
\) (siendo \( b\geq1
\) la cantidad de ensayos en el día 2)... y así hasta \( x_{30}=a+b+c+...+n=45
\).
Si existe \( x_{i}=x_{j}+14
\) (si existe dentro de ese periodo de 30 días) entonces tienes una serie de días (que varía según los casos) en los que entrena exactamente 14 veces porque \( x_{i}-x_{j}=14
\); por ejemplo:
Si en un tramo juega cada día (no acumulando) esto
\( ...1+1+2+3+2+5...
\)
entonces tienes estos “equis” (
he corregido cambiando unos signos + por comas, no me di cueta)
\( x_{1},...x_{j},({\color{blue}x_{j}}+1),({\color{blue}x_{j}+1}+1),({\color{blue}x_{j}+2}+2),({\color{blue}x_{j}+4}+3),({\color{blue}x_{j}+7}+2),({\color{blue}x_{j}+9}+5)...
\)
(con las acumulaciones indicadas en azul)
donde \( (x_{j}+9+5)=x_{j}+14
\) es \( x_{i}
\).
La cantidad de ensayos \( x_{j}
\), que es la acumulada en los días \( 1,2,3...,j
\), se la restamos a la cantidad \( x_{i}
\), que son los ensayos acumulados en los días \( 1,2,3...,i
\).
Lógicamente, \( x_{i}-x_{j}=14
\) es la suma de estos entrenamientos diarios \( ...1+1+2+3+2+5...
\), que hacen 14 entrenamientos en seis días consecutivos (aquí no contamos lo acumulado detrás, contamos los entrenamientos a partir de un cierto día y así hasta que acumulan 14 empezando desde el día j+1).
Luego siempre que exista, dentro del periodo de 30 días \( x_{i}=x_{j}+14
\), existirá una cierta cantidad de días en los que se sumarán 14 ensayos exactamente.
¿Existe siempre eso por muy indistintamente que repartamos los ensayos entre los días?
Aquí es donde entra la aplicación del principio del palomar:
Si no nos dijeran que la cantidad exacta es 45, aun así, \( x_{30}
\) tendría un mínimo: \( x_{30}=30
\), puesto que al menos estudia una vez por día, pero aquí nos dan una cantidad exacta (en el otro problema tenemos un mínimo y un máximo). Entonces \( x_{30}=45
\).
Spoiler
\( x_{30}+14
\), no es ningún \( x_{i}
\) porque se pasa de 45; entonces consideramos uno que no se pase de largo. No hace falta calcularlo, sabemos que existe; sea \( x_{h}+14
\).
Así, por lo dicho, puesto que no es mayor que \( x_{30}
\), tendremos \( x_{h}+14\leq x_{30}
\).
Si es igual, ya está, ya existe, si no, tiene que ser menor. Pero, si es menor, tiene que ser alguno de éstos \( x_{29},x_{28}...x_{1}
\), es decir, tiene que ser algún \( x_{i}
\), no puede ser distinto; porque los días (los palomares) están todos ocupados por “pájaros” diferentes; habría que añadir un día extra para que cupiera.
Que son todos distintos es bastante obvio, ya que, las cantidades acumuladas van de menor a mayor y, como poco, cada vez sumamos 1, nunca sumamos cero.
Tenemos
\( x_{30}=45
\)
Todos los xi de detrás son menores que 45 y ordenados de menor a mayor hay 30 valores xi.
Y tenemos también
\( x_{30}+14=45+14=59
\).
Todos esos valores de detrás \( x_{i}+14
\) lo mismo, distintos y menores que 59; y hay 30 también.
Entre los dos conjuntos hacen 60 números, pero no pueden tomar un valor mayor que 59, entonces 60-59=1, un valor que sobra (
como poco) y así hay al menos dos iguales.
*Al menos dos porque no tiene por qué ser dos exactamente, date cuenta de que se unen los conjuntos para ver si hay biyección, pero no son conjuntos que se consideren unidos como elementos distintos dentro de lo que es el problema. Luego siempre, coloques como coloques los días de estudio, va a haber una cantidad de días consecutivos en los que estudie esas catorce veces exactamente. Pero no podemos determinar la cantidad de días, varía según las disposiciones; y en el ejemplo que puse se ve que existe al menos una disposición donde no existen esos 5 días.
(No sé si me habré equivocado en alguna cosa al escribir, mira a ver)
Saludos.
